微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $\frac{1}{3} x^{3} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{1}{3} x^{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{3}{3}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.2.5.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} - 1 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{2} - 1$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{2} - 1$ です。

$x^{2} - 1$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} - 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{1}{3} x^{3} - x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - (1)$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{3} \cdot 1 - (1)$

ステップ 4.1.2.1.2

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} - (1)$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3} - 1$

ステップ 4.1.2.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.1.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}$

ステップ 4.1.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1 - 3}{3}$

ステップ 4.1.2.5.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 2}{3}$

ステップ 4.1.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{3}$

ステップ 4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1)$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{3} \cdot - 1 - (- 1)$

ステップ 4.2.2.1.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{- 1}{3} - (- 1)$

ステップ 4.2.2.1.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{3} - (- 1)$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{3} + 1$

ステップ 4.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{3} + \frac{3}{3}$

ステップ 4.2.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 3}{3}$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{2}{3}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, - \frac{2}{3}), (- 1, \frac{2}{3})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例