微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} + 25}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{2} + 25$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9

簡約します。

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ステップ 1.1.9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.9.2.1

$- 1$ に $25$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 25}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.3

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.9.3.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

ステップ 1.1.9.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 5$ です。

$f' (x) = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ です。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$(x + 5) (x - 5) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3.2

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 2.3.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 2.3.3

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.3.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.3.4

最終解は $(x + 5) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 5, 5$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x^{2} + 25}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 5$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 5$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(- 5)}^{2} + 25}{- 5}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$- 5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25 + 25}{- 5}$

ステップ 4.1.2.1.2

$25$ と $25$ をたし算します。

$\frac{50}{- 5}$

ステップ 4.1.2.2

$50$ を $- 5$ で割ります。

$- 10$

ステップ 4.2

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$5$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(5)}^{2} + 25}{5}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{25 + 25}{5}$

ステップ 4.2.2.1.2

$25$ と $25$ をたし算します。

$\frac{50}{5}$

ステップ 4.2.2.2

$50$ を $5$ で割ります。

$10$

ステップ 4.3

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{{(0)}^{2} + 25}{0}$

ステップ 4.3.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(- 5, - 10), (5, 10)$

ステップ 5

微分積分 例

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