微分積分例

$f (x) = x - \frac{54}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x - \frac{54}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 54$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{54}{x}$ の微分係数は $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$1 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$1 - 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 1.1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - 54 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ に $- 54$ をかけます。

$1 + 54 x^{- 2}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 + 54 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$54$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$1 + \frac{54}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{54}{x^{2}} + 1$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{54}{x^{2}} + 1$ です。

$\frac{54}{x^{2}} + 1$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{54}{x^{2}} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{54}{x^{2}} + 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\frac{54}{x^{2}} = - 1$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 2.4

$\frac{54}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.4.1

$\frac{54}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$\frac{54}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{54}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$54 = - x^{2}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $- x^{2} = 54$ として書き換えます。

$- x^{2} = 54$

ステップ 2.5.2

$- x^{2} = 54$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- x^{2} = 54$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{54}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{54}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{54}{- 1}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$54$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = - 54$

ステップ 2.5.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 54}$

ステップ 2.5.4

$\pm \sqrt{- 54}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$- 54$ を $- 1 (54)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (54)}$

ステップ 2.5.4.2

$\sqrt{- 1 (54)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$

ステップ 2.5.4.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{54}$

ステップ 2.5.4.4

$54$ を $3^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.4.4.1

$9$ を $54$ で因数分解します。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (6)}$

ステップ 2.5.4.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

ステップ 2.5.4.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{6})$

ステップ 2.5.4.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i \sqrt{6}$

ステップ 2.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i \sqrt{6}$

ステップ 2.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i \sqrt{6}$

ステップ 2.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{54}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x - \frac{54}{x}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$(0) - \frac{54}{0}$

ステップ 4.1.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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