微分積分例

$f (x) = x \sqrt{30 - x^{2}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30 - x^{2}}$ を ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 30 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $30 - x^{2}$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $30 - x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{{(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (30 - x^{2}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.9

総和則では、 $30 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (30) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.10

$30$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $30$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.14

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.14.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.16

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.19

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.20

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.20.1

$2$ を $2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.20.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.20.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.21

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.1.23

${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.24

${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.25

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.26

指数を足して ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 30 - x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.27

${(30 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 30 - x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.28

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 30}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.29

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$- 2 x^{2} + 30 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $30$ を引きます。

$- 2 x^{2} = - 30$

ステップ 2.3.2

$- 2 x^{2} = - 30$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2 x^{2} = - 30$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 30}{- 2}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 30}{- 2}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 30}{- 2}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

$- 30$ を $- 2$ で割ります。

$x^{2} = 15$

ステップ 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{15}$

ステップ 2.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{15}$

ステップ 2.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{15}$

ステップ 2.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{\sqrt{{(- x^{2} + 30)}^{1}}}$

ステップ 3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{\sqrt{- x^{2} + 30}}$

ステップ 3.2

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{\sqrt{- x^{2} + 30}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{- x^{2} + 30} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${\sqrt{- x^{2} + 30}}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{- x^{2} + 30}$ を ${(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${({(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${({(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

${({(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(- x^{2} + 30)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

簡約します。

$- x^{2} + 30 = 0^{2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- x^{2} + 30 = 0$

ステップ 3.3.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

方程式の両辺から $30$ を引きます。

$- x^{2} = - 30$

ステップ 3.3.3.2

$- x^{2} = - 30$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$- x^{2} = - 30$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 30}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 30}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 30}{- 1}$

ステップ 3.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1

$- 30$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 30$

ステップ 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{30}$

ステップ 3.3.3.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.3.3.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{30}$

ステップ 3.3.3.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{30}$

ステップ 3.3.3.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{30}, - \sqrt{30}$

ステップ 3.4

$\sqrt{- x^{2} + 30}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$- x^{2} + 30 < 0$

ステップ 3.5

$x$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

不等式の両辺から $30$ を引きます。

$- x^{2} < - 30$

ステップ 3.5.2

$- x^{2} < - 30$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$- x^{2} < - 30$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 30}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 30}{- 1}$

ステップ 3.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} > \frac{- 30}{- 1}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$- 30$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} > 30$

ステップ 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{30}$

ステップ 3.5.4

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | > \sqrt{30}$

ステップ 3.5.5

$| x | > \sqrt{30}$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 3.5.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x > \sqrt{30}$

ステップ 3.5.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 3.5.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x > \sqrt{30}$

ステップ 3.5.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x > \sqrt{30} & x \geq 0 \\ - x > \sqrt{30} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 3.5.6

$x > \sqrt{30}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$x > \sqrt{30}$

ステップ 3.5.7

$- x > \sqrt{30}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.1

$- x > \sqrt{30}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{\sqrt{30}}{- 1}$

ステップ 3.5.7.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} < \frac{\sqrt{30}}{- 1}$

ステップ 3.5.7.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{\sqrt{30}}{- 1}$

ステップ 3.5.7.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.7.3.1

$\frac{\sqrt{30}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x < - 1 \cdot \sqrt{30}$

ステップ 3.5.7.3.2

$- 1 \cdot \sqrt{30}$ を $- \sqrt{30}$ に書き換えます。

$x < - \sqrt{30}$

ステップ 3.5.8

解の和集合を求めます。

$x < - \sqrt{30}$ または $x > \sqrt{30}$

ステップ 3.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - \sqrt{30}, x \geq \sqrt{30}$

$(- \infty, - \sqrt{30}] \cup [\sqrt{30}, \infty)$

$x \leq - \sqrt{30}, x \geq \sqrt{30}$

$(- \infty, - \sqrt{30}] \cup [\sqrt{30}, \infty)$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x \sqrt{30 - x^{2}}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = \sqrt{15}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\sqrt{15}$ を $x$ に代入します。

$(\sqrt{15}) \sqrt{30 - {(\sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sqrt{15 (30 - {(\sqrt{15})}^{2})}$

ステップ 4.1.2.2

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{15 (30 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 4.1.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{15 (30 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{15 (30 - 15^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 4.1.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{15 (30 - 15^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 4.1.2.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{15 (30 - 15^{1})}$

ステップ 4.1.2.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{15 (30 - 1 \cdot 15)}$

ステップ 4.1.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$\sqrt{15 (30 - 15)}$

ステップ 4.1.2.3.2

$30$ から $15$ を引きます。

$\sqrt{15 \cdot 15}$

ステップ 4.1.2.3.3

$15$ に $15$ をかけます。

$\sqrt{225}$

ステップ 4.1.2.3.4

$225$ を $15^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{15^{2}}$

ステップ 4.1.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$15$

ステップ 4.2

$x = - \sqrt{15}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$- \sqrt{15}$ を $x$ に代入します。

$(- \sqrt{15}) \sqrt{30 - {(- \sqrt{15})}^{2}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

積の法則を $- \sqrt{15}$ に当てはめます。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2})}$

ステップ 4.2.2.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 4.2.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - {\sqrt{15}}^{2}}$

ステップ 4.2.2.4

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.2.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.2.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.2.2.4.4.2

式を書き換えます。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{1}}$

ステップ 4.2.2.4.5

指数を求めます。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 1 \cdot 15}$

ステップ 4.2.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.5.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15}$

ステップ 4.2.2.5.2

$30$ から $15$ を引きます。

$- \sqrt{15} \sqrt{15}$

ステップ 4.2.2.6

$- \sqrt{15} \sqrt{15}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.6.1

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$- ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})$

ステップ 4.2.2.6.2

$\sqrt{15}$ を $1$ 乗します。

$- ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})$

ステップ 4.2.2.6.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- {\sqrt{15}}^{1 + 1}$

ステップ 4.2.2.6.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$- {\sqrt{15}}^{2}$

ステップ 4.2.2.7

${\sqrt{15}}^{2}$ を $15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{15}$ を $15^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 4.2.2.7.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 4.2.2.7.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- 15^{\frac{2}{2}}$

ステップ 4.2.2.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.7.4.1

共通因数を約分します。

$- 15^{\frac{2}{2}}$

ステップ 4.2.2.7.4.2

式を書き換えます。

$- 15^{1}$

ステップ 4.2.2.7.5

指数を求めます。

$- 1 \cdot 15$

ステップ 4.2.2.8

$- 1$ に $15$ をかけます。

$- 15$

ステップ 4.3

$x = - \sqrt{30}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- \sqrt{30}$ を $x$ に代入します。

$(- \sqrt{30}) \sqrt{30 - {(- \sqrt{30})}^{2}}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

積の法則を $- \sqrt{30}$ に当てはめます。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{30}}^{2})}$

ステップ 4.3.2.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{30}}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{30}}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{30}}^{2}}$

ステップ 4.3.2.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{30}}^{2}}$

ステップ 4.3.2.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - {\sqrt{30}}^{2}}$

ステップ 4.3.2.4

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - {(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.3.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.3.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.3.2.4.4.2

式を書き換えます。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{1}}$

ステップ 4.3.2.4.5

指数を求めます。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 1 \cdot 30}$

ステップ 4.3.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.5.1

$- 1$ に $30$ をかけます。

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30}$

ステップ 4.3.2.5.2

$30$ から $30$ を引きます。

$- \sqrt{30} \sqrt{0}$

ステップ 4.3.2.5.3

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$- \sqrt{30} \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.3.2.5.4

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \sqrt{30} \cdot 0$

ステップ 4.3.2.6

$- \sqrt{30} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.6.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 \sqrt{30}$

ステップ 4.3.2.6.2

$0$ に $\sqrt{30}$ をかけます。

$0$

ステップ 4.4

$x = \sqrt{30}$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\sqrt{30}$ を $x$ に代入します。

$(\sqrt{30}) \sqrt{30 - {(\sqrt{30})}^{2}}$

ステップ 4.4.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$\sqrt{30 (30 - {(\sqrt{30})}^{2})}$

ステップ 4.4.2.2

${\sqrt{30}}^{2}$ を $30$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{30}$ を $30^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{30 (30 - {(30^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 4.4.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{30 (30 - 30^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 4.4.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{30 (30 - 30^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 4.4.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{30 (30 - 30^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 4.4.2.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{30 (30 - 30^{1})}$

ステップ 4.4.2.2.5

指数を求めます。

$\sqrt{30 (30 - 1 \cdot 30)}$

ステップ 4.4.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.3.1

$- 1$ に $30$ をかけます。

$\sqrt{30 (30 - 30)}$

ステップ 4.4.2.3.2

$30$ から $30$ を引きます。

$\sqrt{30 \cdot 0}$

ステップ 4.4.2.3.3

$30$ に $0$ をかけます。

$\sqrt{0}$

ステップ 4.4.2.3.4

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.4.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$0$

ステップ 4.5

点のすべてを一覧にします。

$(\sqrt{15}, 15), (- \sqrt{15}, - 15), (- \sqrt{30}, 0), (\sqrt{30}, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例