微分積分例

$f (x) = - 6 x^{2} + 2 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $- 6 x^{2} + 2 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$- 12 x + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$- 12 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 x + 2 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $2$ をかけます。

$- 12 x + 6 x^{2}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = 6 x^{2} - 12 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $6 x^{2} - 12 x$ です。

$6 x^{2} - 12 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $6 x^{2} - 12 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$6 x^{2} - 12 x = 0$

ステップ 2.2

$6 x$ を $6 x^{2} - 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$6 x$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$6 x (x) - 12 x = 0$

ステップ 2.2.2

$6 x$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$6 x (x) + 6 x (- 2) = 0$

ステップ 2.2.3

$6 x$ を $6 x (x) + 6 x (- 2)$ で因数分解します。

$6 x (x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.6

最終解は $6 x (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- 6 x^{2} + 2 x^{3}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$- 6 {(0)}^{2} + 2 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 6 \cdot 0 + 2 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 6$ に $0$ をかけます。

$0 + 2 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 2 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.2

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

$- 6 {(2)}^{2} + 2 {(2)}^{3}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$- 6 \cdot 4 + 2 {(2)}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 6$ に $4$ をかけます。

$- 24 + 2 {(2)}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.3

指数を足して $2$ に ${(2)}^{3}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1.3.1

$2$ に ${(2)}^{3}$ をかけます。

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ステップ 4.2.2.1.3.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$- 24 + 2^{1} {(2)}^{3}$

ステップ 4.2.2.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 24 + 2^{1 + 3}$

ステップ 4.2.2.1.3.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$- 24 + 2^{4}$

ステップ 4.2.2.1.4

$2$ を $4$ 乗します。

$- 24 + 16$

ステップ 4.2.2.2

$- 24$ と $16$ をたし算します。

$- 8$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (2, - 8)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例