微分積分例

$f (x) = - 5 x^{2} + 4 x - 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $- 5 x^{2} + 4 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{2}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 5$ をかけます。

$- 10 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 10 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.3

$4$ に $1$ をかけます。

$- 10 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- 10 x + 4 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$- 10 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 10 x + 4$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 10 x + 4$ です。

$- 10 x + 4$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 10 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 10 x + 4 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- 10 x = - 4$

ステップ 2.3

$- 10 x = - 4$ の各項を $- 10$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 10 x = - 4$ の各項を $- 10$ で割ります。

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 4}{- 10}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 4}{- 10}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 10}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 4$ と $- 10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$- 2$ を $- 4$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 (2)}{- 10}$

ステップ 2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.3.1.2.1

$- 2$ を $- 10$ で因数分解します。

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 5}$

ステップ 2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 5}$

ステップ 2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{2}{5}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $- 5 x^{2} + 4 x - 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{2}{5}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{2}{5}$ を $x$ に代入します。

$- 5 {(\frac{2}{5})}^{2} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

積の法則を $\frac{2}{5}$ に当てはめます。

$- 5 \frac{2^{2}}{5^{2}} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$- 5 \frac{4}{5^{2}} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$5$ を $2$ 乗します。

$- 5 (\frac{4}{25}) + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

ステップ 4.1.2.1.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.4.1

$5$ を $- 5$ で因数分解します。

$5 (- 1) \frac{4}{25} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

ステップ 4.1.2.1.4.2

$5$ を $25$ で因数分解します。

$5 \cdot - 1 \frac{4}{5 \cdot 5} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

ステップ 4.1.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$5 \cdot - 1 \frac{4}{5 \cdot 5} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

ステップ 4.1.2.1.4.4

式を書き換えます。

$- 1 (\frac{4}{5}) + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

ステップ 4.1.2.1.5

$- 1 (\frac{4}{5})$ を $- (\frac{4}{5})$ に書き換えます。

$- (\frac{4}{5}) + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

ステップ 4.1.2.1.6

$4 (\frac{2}{5})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.6.1

$4$ と $\frac{2}{5}$ をまとめます。

$- \frac{4}{5} + \frac{4 \cdot 2}{5} - 1$

ステップ 4.1.2.1.6.2

$4$ に $2$ をかけます。

$- \frac{4}{5} + \frac{8}{5} - 1$

ステップ 4.1.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$- 1 + \frac{- 4 + 8}{5}$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 4$ と $8$ をたし算します。

$- 1 + \frac{4}{5}$

ステップ 4.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{5}{5}$ を掛けます。

$- 1 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}$

ステップ 4.1.2.4

$- 1$ と $\frac{5}{5}$ をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 5}{5} + \frac{4}{5}$

ステップ 4.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 \cdot 5 + 4}{5}$

ステップ 4.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.6.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$\frac{- 5 + 4}{5}$

ステップ 4.1.2.6.2

$- 5$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 1}{5}$

ステップ 4.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{5}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})$

ステップ 5

微分積分 例

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