微分積分例

$f (x) = 5 x^{3} + 15 x - 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 x^{3} + 15 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $5$ をかけます。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [15 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$15 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$15 x^{2} + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3.3

$15$ に $1$ をかけます。

$15 x^{2} + 15 + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$15 x^{2} + 15 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$15 x^{2} + 15$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 15 x^{2} + 15$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $15 x^{2} + 15$ です。

$15 x^{2} + 15$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $15 x^{2} + 15 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$15 x^{2} + 15 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$15 x^{2} = - 15$

ステップ 2.3

$15 x^{2} = - 15$ の各項を $15$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$15 x^{2} = - 15$ の各項を $15$ で割ります。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{- 15}{15}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{- 15}{15}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 15}{15}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$- 15$ を $15$ で割ります。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.5

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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