微分積分例

$f (x) = 5 x^{4} - 16 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 x^{4} - 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$20 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} - 16 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 20 x^{3} - 16$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $20 x^{3} - 16$ です。

$20 x^{3} - 16$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $20 x^{3} - 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$20 x^{3} - 16 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$20 x^{3} = 16$

ステップ 2.3

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$20 x^{3} - 16 = 0$

ステップ 2.4

$4$ を $20 x^{3} - 16$ で因数分解します。

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ステップ 2.4.1

$4$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$4 (5 x^{3}) - 16 = 0$

ステップ 2.4.2

$4$ を $- 16$ で因数分解します。

$4 (5 x^{3}) + 4 (- 4) = 0$

ステップ 2.4.3

$4$ を $4 (5 x^{3}) + 4 (- 4)$ で因数分解します。

$4 (5 x^{3} - 4) = 0$

ステップ 2.5

$4 (5 x^{3} - 4) = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$4 (5 x^{3} - 4) = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 2.5.2.1.2

$5 x^{3} - 4$ を $1$ で割ります。

$5 x^{3} - 4 = \frac{0}{4}$

ステップ 2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$5 x^{3} - 4 = 0$

ステップ 2.6

方程式の両辺に $4$ を足します。

$5 x^{3} = 4$

ステップ 2.7

$5 x^{3} = 4$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.7.1

$5 x^{3} = 4$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

ステップ 2.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.7.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

ステップ 2.7.2.1.2

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$x^{3} = \frac{4}{5}$

ステップ 2.8

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \sqrt[3]{\frac{4}{5}}$

ステップ 2.9

$\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ を簡約します。

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ステップ 2.9.1

$\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ を $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$

ステップ 2.9.2

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 2.9.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.9.3.1

$\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ に $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 2.9.3.2

$\sqrt[3]{5}$ を $1$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

ステップ 2.9.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

ステップ 2.9.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

ステップ 2.9.3.5

${\sqrt[3]{5}}^{3}$ を $5$ に書き換えます。

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ステップ 2.9.3.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{5}$ を $5^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

ステップ 2.9.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

ステップ 2.9.3.5.3

$\frac{1}{3}$ と $3$ をまとめます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 2.9.3.5.4

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.9.3.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

ステップ 2.9.3.5.4.2

式を書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

ステップ 2.9.3.5.5

指数を求めます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

ステップ 2.9.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.4.1

${\sqrt[3]{5}}^{2}$ を $\sqrt[3]{5^{2}}$ に書き換えます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

ステップ 2.9.4.2

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{25}}{5}$

ステップ 2.9.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.9.5.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot 25}}{5}$

ステップ 2.9.5.2

$4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $5 x^{4} - 16 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ を $x$ に代入します。

$5 {(\frac{\sqrt[3]{100}}{5})}^{4} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

積の法則を $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ に当てはめます。

$5 \frac{{\sqrt[3]{100}}^{4}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.2

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.2.1

${\sqrt[3]{100}}^{4}$ を $\sqrt[3]{100^{4}}$ に書き換えます。

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{4}}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.2.2

$100$ を $4$ 乗します。

$5 \frac{\sqrt[3]{100000000}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.2.3

$100000000$ を $100^{3} \cdot 100$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.2.1.2.3.1

$1000000$ を $100000000$ で因数分解します。

$5 \frac{\sqrt[3]{1000000 (100)}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.2.3.2

$1000000$ を $100^{3}$ に書き換えます。

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{3} \cdot 100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.2.4

累乗根の下から項を取り出します。

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.3

$5$ を $4$ 乗します。

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{625} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.4

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.4.1

$5$ を $625$ で因数分解します。

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 (125)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 \cdot 125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{100 \sqrt[3]{100}}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.5

$100$ と $125$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.5.1

$25$ を $100 \sqrt[3]{100}$ で因数分解します。

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.5.2.1

$25$ を $125$ で因数分解します。

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 (5)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 \cdot 5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.6

$- 16$ と $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ をまとめます。

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} + \frac{- 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - \frac{16 \sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.2

項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 \sqrt[3]{100} - 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.2.2

$4 \sqrt[3]{100}$ から $16 \sqrt[3]{100}$ を引きます。

$\frac{- 12 \sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.1.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{\sqrt[3]{100}}{5}, - \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例