微分積分例

$f (x) = 3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{5}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{5}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.6.2

$5$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.7

$\frac{5}{3}$ と $x^{\frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 3 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.8

$3$ と $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.9

$5$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.10

$3$ を $15 x^{\frac{2}{3}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.11.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.11.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.2.11.4

$5 x^{\frac{2}{3}}$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 15 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $- 15 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1.1.3.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

ステップ 1.1.3.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.3.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 1.1.3.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

ステップ 1.1.3.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

ステップ 1.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

ステップ 1.1.3.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - 15 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.3.9

$- 15$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 15 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

ステップ 1.1.3.10

$2$ に $- 15$ をかけます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

ステップ 1.1.3.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 30}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.12

$3$ を $- 30$ で因数分解します。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

ステップ 1.1.3.13.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{3 \cdot - 10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.13.3

式を書き換えます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.1.3.14

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ です。

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

ステップ 2.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, x^{\frac{1}{3}}, 1$

ステップ 2.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.3.1

$5 x^{\frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

指数を足して $x^{\frac{2}{3}}$ に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1.1

$x^{\frac{1}{3}}$ を移動させます。

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.2.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.2.1.1.3

公分母の分子をまとめます。

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.2.1.1.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$5 x^{\frac{3}{3}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.2.1.1.5

$3$ を $3$ で割ります。

$5 x^{1} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.2.1.2

$5 x^{1}$ を簡約します。

$5 x - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.2.1.3

$x^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.3.1

$- \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$5 x + \frac{- 10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.2.1.3.3

式を書き換えます。

$5 x - 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ に $x^{\frac{1}{3}}$ をかけます。

$5 x - 10 = 0$

ステップ 2.4

方程式を解きます。

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ステップ 2.4.1

方程式の両辺に $10$ を足します。

$5 x = 10$

ステップ 2.4.2

$5 x = 10$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$5 x = 10$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

ステップ 2.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{10}{5}$

ステップ 2.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{10}{5}$

ステップ 2.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.3.1

$10$ を $5$ で割ります。

$x = 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 3.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

ステップ 3.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$5 \sqrt[3]{x^{2}} - \frac{10}{\sqrt[3]{x}}$

ステップ 3.2

$\frac{10}{\sqrt[3]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{3}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{\frac{5}{3}} - 15 x^{\frac{2}{3}}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$3 {(2)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(2)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.1.2

括弧を削除します。

$3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$3 \cdot 0^{5} - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.5

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - 15 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.6

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$0 - 15 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

ステップ 4.2.2.1.7

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.2.1.8

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.8.1

共通因数を約分します。

$0 - 15 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

ステップ 4.2.2.1.8.2

式を書き換えます。

$0 - 15 \cdot 0^{2}$

ステップ 4.2.2.1.9

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 15 \cdot 0$

ステップ 4.2.2.1.10

$- 15$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 4.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, 3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} - 15 \cdot 2^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例