微分積分例

$y (x + 1) + x^{2} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y (x + 1) + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $y (x + 1) + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = y$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$y \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$y (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$y (1 + 0) + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$y \cdot 1 + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.7

$y$ に $1$ をかけます。

$y + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$y + (x + 1) y' + 2 x$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分配則を当てはめます。

$y + x y' + 1 y' + 2 x$

ステップ 2.4.2

$y'$ に $1$ をかけます。

$y + x y' + y' + 2 x$

ステップ 2.4.3

項を並べ替えます。

$x y' + 2 x + y + y'$

ステップ 3

$0$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $0$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' + 2 x + y + y' = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x y' + y + y' = - 2 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' + y' = - 2 x - y$

ステップ 5.2

$y'$ を $x y' + y'$ で因数分解します。

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ステップ 5.2.1

$y'$ を $x y'$ で因数分解します。

$y' x + y' = - 2 x - y$

ステップ 5.2.2

$y'$ を $1$ 乗します。

$y' x + y' = - 2 x - y$

ステップ 5.2.3

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' x + y' \cdot 1 = - 2 x - y$

ステップ 5.2.4

$y'$ を $y' x + y' \cdot 1$ で因数分解します。

$y' (x + 1) = - 2 x - y$

ステップ 5.3

$y' (x + 1) = - 2 x - y$ の各項を $x + 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$y' (x + 1) = - 2 x - y$ の各項を $x + 1$ で割ります。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$x + 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

ステップ 5.3.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

ステップ 5.3.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

ステップ 5.3.3.2

項を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 1}$

ステップ 5.3.3.2.2

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 1}$

ステップ 5.3.3.2.3

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 1}$

ステップ 5.3.3.2.4

$- 1$ を $- (2 x) - (y)$ で因数分解します。

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 1}$

ステップ 5.3.3.2.5

式を簡約します。

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ステップ 5.3.3.2.5.1

$- (2 x + y)$ を $- 1 (2 x + y)$ に書き換えます。

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 1}$

ステップ 5.3.3.2.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 1}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 1}$

微分積分 例

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