微分積分例

$\tan (x y^{2}) = e^{x^{2} + y}$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\tan (x y^{2})) = \frac{d}{d x} (e^{x^{2} + y})$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = x y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x y^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\tan (u_{1})$ の微分係数は $\sec^{2} (u_{1})$ です。

$\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x y^{2}$ で置き換えます。

$\sec^{2} (x y^{2}) \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\sec^{2} (x y^{2}) (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $y$ とします。

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$\sec^{2} (x y^{2}) (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 \cdot x y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.5

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2} \cdot 1)$

ステップ 2.7

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y' + y^{2})$

ステップ 2.8

簡約します。

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ステップ 2.8.1

分配則を当てはめます。

$\sec^{2} (x y^{2}) (2 x y y') + \sec^{2} (x y^{2}) y^{2}$

ステップ 2.8.2

項を並べ替えます。

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2} + y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + y$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + y$ で置き換えます。

$e^{x^{2} + y} \frac{d}{d x} [x^{2} + y]$

ステップ 3.2

微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $x^{2} + y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ です。

$e^{x^{2} + y} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x^{2} + y} (2 x + \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) y' + y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ の因数を並べ替えます。

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x + y')$

ステップ 5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$e^{x^{2} + y} (2 x + y')$ を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

分配則を当てはめます。

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = e^{x^{2} + y} (2 x) + e^{x^{2} + y} y'$

ステップ 5.2.1.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$

ステップ 5.2.1.2.2

$2 e^{x^{2} + y} x + e^{x^{2} + y} y'$ の因数を並べ替えます。

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) = 2 x e^{x^{2} + y} + y' e^{x^{2} + y}$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $y' e^{x^{2} + y}$ を引きます。

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) + y^{2} \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y}$

ステップ 5.4

方程式の両辺から $y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ を引きます。

$2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

ステップ 5.5

$y'$ を $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2}) - y' e^{x^{2} + y}$ で因数分解します。

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ステップ 5.5.1

$y'$ を $2 x y y' \sec^{2} (x y^{2})$ で因数分解します。

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) - y' e^{x^{2} + y} = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

ステップ 5.5.2

$y'$ を $- y' e^{x^{2} + y}$ で因数分解します。

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

ステップ 5.5.3

$y'$ を $y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2})) + y' (- 1 e^{x^{2} + y})$ で因数分解します。

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - 1 e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

ステップ 5.6

$- 1 e^{x^{2} + y}$ を $- e^{x^{2} + y}$ に書き換えます。

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$

ステップ 5.7

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ の各項を $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.7.1

$y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}) = 2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})$ の各項を $2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ で割ります。

$\frac{y' (2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

ステップ 5.7.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.7.2.1

$2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.2.1.1

共通因数を約分します。

ステップ 5.7.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} + \frac{- y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

ステップ 5.7.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.7.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y}}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}} - \frac{y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

ステップ 5.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x^{2} + y} - y^{2} \sec^{2} (x y^{2})}{2 x y \sec^{2} (x y^{2}) - e^{x^{2} + y}}$

微分積分 例

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