微分積分例

$\ln (y + e^{2 x}) = x^{2} - 4$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (\ln (y + e^{2 x})) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 2.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = y + e^{2 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $y + e^{2 x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

ステップ 2.1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

ステップ 2.1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $y + e^{2 x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [y + e^{2 x}]$

ステップ 2.2

総和則では、 $y + e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

ステップ 2.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 2.5

微分します。

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ステップ 2.5.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 2.5.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} (2 \cdot 1))$

ステップ 2.5.3

式を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + e^{2 x} \cdot 2)$

ステップ 2.5.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 \cdot e^{2 x})$

ステップ 2.6

簡約します。

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ステップ 2.6.1

$\frac{1}{y + e^{2 x}} (y' + 2 e^{2 x})$ の因数を並べ替えます。

$(y' + 2 e^{2 x}) \frac{1}{y + e^{2 x}}$

ステップ 2.6.2

$y' + 2 e^{2 x}$ に $\frac{1}{y + e^{2 x}}$ をかけます。

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

総和則では、 $x^{2} - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 3.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 x + 0$

ステップ 3.4

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$2 x$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} = 2 x$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

両辺に $y + e^{2 x}$ を掛けます。

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

ステップ 5.2

簡約します。

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ステップ 5.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$y + e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' + 2 e^{2 x}}{y + e^{2 x}} (y + e^{2 x}) = 2 x (y + e^{2 x})$

ステップ 5.2.1.1.2

式を書き換えます。

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x (y + e^{2 x})$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

分配則を当てはめます。

$y' + 2 e^{2 x} = 2 x y + 2 x e^{2 x}$

ステップ 5.3

方程式の両辺から $2 e^{2 x}$ を引きます。

$y' = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x e^{2 x} - 2 e^{2 x}$

微分積分 例

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