微分積分例

$f (x) = 2 + 3 x - x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $2 + 3 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$0 + 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0 + 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 + 3 - (2 x)$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$0 + 3 - 2 x$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$0$ と $3$ をたし算します。

$3 - 2 x$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 2 x + 3$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 2 x + 3$ です。

$- 2 x + 3$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 2 x + 3 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 2 x = - 3$

ステップ 2.3

$- 2 x = - 3$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$- 2 x = - 3$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{- 2}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $2 + 3 x - x^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = \frac{3}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$\frac{3}{2}$ を $x$ に代入します。

$2 + 3 (\frac{3}{2}) - {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$3 (\frac{3}{2})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

$3$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$2 + \frac{3 \cdot 3}{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.1.2

$3$ に $3$ をかけます。

$2 + \frac{9}{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$2 + \frac{9}{2} - \frac{3^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.3

$3$ を $2$ 乗します。

$2 + \frac{9}{2} - \frac{9}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$2 + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{2}{1} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{2}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{2}{1}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{9}{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{9}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{4}$

ステップ 4.1.2.2.5

$\frac{9}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{9}{4}$

ステップ 4.1.2.2.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{9 \cdot 2}{4} - \frac{9}{4}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \cdot 4 + 9 \cdot 2 - 9}{4}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{8 + 9 \cdot 2 - 9}{4}$

ステップ 4.1.2.4.2

$9$ に $2$ をかけます。

$\frac{8 + 18 - 9}{4}$

ステップ 4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.5.1

$8$ と $18$ をたし算します。

$\frac{26 - 9}{4}$

ステップ 4.1.2.5.2

$26$ から $9$ を引きます。

$\frac{17}{4}$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(\frac{3}{2}, \frac{17}{4})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例