微分積分例

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 21 x + 5$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 9 x^{2} - 21 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 21 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 21 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 21 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 21 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 21 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 21 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 21$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 21 x$ の微分係数は $- 21 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 21 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 21 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.3.3

$- 21$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 21 + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 21 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x^{2} - 18 x - 21$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 21$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 18 x - 21$ です。

$3 x^{2} - 18 x - 21$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 18 x - 21 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 18 x - 21 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $3 x^{2} - 18 x - 21$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 18 x - 21 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) - 21 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$3$ を $- 21$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot - 7 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot - 7$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x - 7$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 7$ で、その和が $- 6$ です。

$- 7, 1$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 7) (x + 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 2.4

$x - 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 7$ が $0$ に等しいとします。

$x - 7 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$x = 7$

ステップ 2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.6

最終解は $3 (x - 7) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 7, - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 9 x^{2} - 21 x + 5$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 7$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$7$ を $x$ に代入します。

${(7)}^{3} - 9 {(7)}^{2} - 21 \cdot 7 + 5$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$7$ を $3$ 乗します。

$343 - 9 {(7)}^{2} - 21 \cdot 7 + 5$

ステップ 4.1.2.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$343 - 9 \cdot 49 - 21 \cdot 7 + 5$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 9$ に $49$ をかけます。

$343 - 441 - 21 \cdot 7 + 5$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 21$ に $7$ をかけます。

$343 - 441 - 147 + 5$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$343$ から $441$ を引きます。

$- 98 - 147 + 5$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 98$ から $147$ を引きます。

$- 245 + 5$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 245$ と $5$ をたし算します。

$- 240$

ステップ 4.2

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${(- 1)}^{3} - 9 {(- 1)}^{2} - 21 \cdot - 1 + 5$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 9 {(- 1)}^{2} - 21 \cdot - 1 + 5$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 9 \cdot 1 - 21 \cdot - 1 + 5$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 9$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 9 - 21 \cdot - 1 + 5$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 21$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 - 9 + 21 + 5$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$- 1$ から $9$ を引きます。

$- 10 + 21 + 5$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 10$ と $21$ をたし算します。

$11 + 5$

ステップ 4.2.2.2.3

$11$ と $5$ をたし算します。

$16$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(7, - 240), (- 1, 16)$

ステップ 5

微分積分 例

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