微分積分例

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 7$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 7 x^{2}$ の微分係数は $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 7$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 5 x) + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 5 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 1.1.3.3

$- 5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + \frac{d}{d x} (7)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x^{2} - 14 x - 5$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 5$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 14 x - 5$ です。

$3 x^{2} - 14 x - 5$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

ステップ 2.2

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ で和が $b = - 14$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1.1

$- 14$ を $- 14 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 14 x - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$- 14$ を $1$ プラス $- 15$ に書き換える

$3 x^{2} + (1 - 15) x - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 1 x - 15 x - 5 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} + x - 15 x - 5 = 0$

ステップ 2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} + x) - 15 x - 5 = 0$

ステップ 2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x + 1) - 5 (3 x + 1) = 0$

ステップ 2.2.3

最大公約数 $3 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x + 1) (x - 5) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2.4

$3 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$3 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $3 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$3 x = - 1$

ステップ 2.4.2.2

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$3 x = - 1$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{3}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{3}$

ステップ 2.5

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.6

最終解は $(3 x + 1) (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{3}, 5$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 7 x^{2} - 5 x + 7$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - \frac{1}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- \frac{1}{3}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{3^{3}} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{1}{27} - 7 {(- \frac{1}{3})}^{2} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.1.2.1.5.1

積の法則を $- \frac{1}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.5.2

積の法則を $\frac{1}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.6

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{27} - 7 (1 \frac{1^{2}}{3^{2}}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.7

$\frac{1^{2}}{3^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - 7 \frac{1^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.8

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{27} - 7 \frac{1}{3^{2}} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.9

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{1}{27} - 7 (\frac{1}{9}) - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.10

$- 7$ と $\frac{1}{9}$ をまとめます。

$- \frac{1}{27} + \frac{- 7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7}{9} - 5 (- \frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.12

$- 5 (- \frac{1}{3})$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1.12.1

$- 1$ に $- 5$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + 5 (\frac{1}{3}) + 7$

ステップ 4.1.2.1.12.2

$5$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7}{9} + \frac{5}{3} + 7$

ステップ 4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.1.2.2.1

$\frac{7}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - (\frac{7}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{5}{3} + 7$

ステップ 4.1.2.2.2

$\frac{7}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} + 7$

ステップ 4.1.2.2.3

$\frac{5}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5}{3} \cdot \frac{9}{9} + 7$

ステップ 4.1.2.2.4

$\frac{5}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 7$

ステップ 4.1.2.2.5

$7$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7}{1}$

ステップ 4.1.2.2.6

$\frac{7}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.7

$\frac{7}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.8

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{1}{27} - \frac{7 \cdot 3}{27} + \frac{5 \cdot 9}{27} + \frac{7 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 - 7 \cdot 3 + 5 \cdot 9 + 7 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.4.1

$- 7$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 1 - 21 + 5 \cdot 9 + 7 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4.2

$5$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 1 - 21 + 45 + 7 \cdot 27}{27}$

ステップ 4.1.2.4.3

$7$ に $27$ をかけます。

$\frac{- 1 - 21 + 45 + 189}{27}$

ステップ 4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.5.1

$- 1$ から $21$ を引きます。

$\frac{- 22 + 45 + 189}{27}$

ステップ 4.1.2.5.2

$- 22$ と $45$ をたし算します。

$\frac{23 + 189}{27}$

ステップ 4.1.2.5.3

$23$ と $189$ をたし算します。

$\frac{212}{27}$

ステップ 4.2

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$5$ を $x$ に代入します。

${(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 7$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$5$ を $3$ 乗します。

$125 - 7 {(5)}^{2} - 5 \cdot 5 + 7$

ステップ 4.2.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$125 - 7 \cdot 25 - 5 \cdot 5 + 7$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 7$ に $25$ をかけます。

$125 - 175 - 5 \cdot 5 + 7$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 5$ に $5$ をかけます。

$125 - 175 - 25 + 7$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$125$ から $175$ を引きます。

$- 50 - 25 + 7$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 50$ から $25$ を引きます。

$- 75 + 7$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 75$ と $7$ をたし算します。

$- 68$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{1}{3}, \frac{212}{27}), (5, - 68)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例