微分積分例

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 1$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} + 6 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.3.2

$4 x^{3} + 6 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} + 6 x^{2}$ です。

$4 x^{3} + 6 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$2 x^{2}$ を $4 x^{3} + 6 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$2 x^{2}$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (2 x) + 6 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$2 x^{2}$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3) = 0$

ステップ 2.2.3

$2 x^{2}$ を $2 x^{2} (2 x) + 2 x^{2} (3)$ で因数分解します。

$2 x^{2} (2 x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$2 x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$2 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$2 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $2 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x = - 3$

ステップ 2.5.2.2

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{2}$

ステップ 2.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 2.6

最終解は $2 x^{2} (2 x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - \frac{3}{2}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} + 2 x^{3} - 1$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 1$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 2 {(0)}^{3} - 1$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 2 \cdot 0 - 1$

ステップ 4.1.2.1.3

$2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 1$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 1$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$- 1$

ステップ 4.2

$x = - \frac{3}{2}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- \frac{3}{2}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

ステップ 4.2.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$1 \frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

ステップ 4.2.2.1.3

$\frac{3^{4}}{2^{4}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3^{4}}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

ステップ 4.2.2.1.4

$3$ を $4$ 乗します。

$\frac{81}{2^{4}} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

ステップ 4.2.2.1.5

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{81}{16} + 2 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 1$

ステップ 4.2.2.1.6

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.2.2.1.6.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 1$

ステップ 4.2.2.1.6.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$\frac{81}{16} + 2 ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

ステップ 4.2.2.1.7

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 1$

ステップ 4.2.2.1.8

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{2^{3}}) - 1$

ステップ 4.2.2.1.9

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{81}{16} + 2 (- \frac{27}{8}) - 1$

ステップ 4.2.2.1.10

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.10.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{81}{16} + 2 (\frac{- 27}{8}) - 1$

ステップ 4.2.2.1.10.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 (4)} - 1$

ステップ 4.2.2.1.10.3

共通因数を約分します。

$\frac{81}{16} + 2 \frac{- 27}{2 \cdot 4} - 1$

ステップ 4.2.2.1.10.4

式を書き換えます。

$\frac{81}{16} + \frac{- 27}{4} - 1$

ステップ 4.2.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{81}{16} - \frac{27}{4} - 1$

ステップ 4.2.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 4.2.2.2.1

$\frac{27}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{81}{16} - (\frac{27}{4} \cdot \frac{4}{4}) - 1$

ステップ 4.2.2.2.2

$\frac{27}{4}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} - 1$

ステップ 4.2.2.2.3

$- 1$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1}$

ステップ 4.2.2.2.4

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 4.2.2.2.5

$\frac{- 1}{1}$ に $\frac{16}{16}$ をかけます。

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

ステップ 4.2.2.2.6

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{81}{16} - \frac{27 \cdot 4}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}$

ステップ 4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{81 - 27 \cdot 4 - 1 \cdot 16}{16}$

ステップ 4.2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.4.1

$- 27$ に $4$ をかけます。

$\frac{81 - 108 - 1 \cdot 16}{16}$

ステップ 4.2.2.4.2

$- 1$ に $16$ をかけます。

$\frac{81 - 108 - 16}{16}$

ステップ 4.2.2.5

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.5.1

$81$ から $108$ を引きます。

$\frac{- 27 - 16}{16}$

ステップ 4.2.2.5.2

$- 27$ から $16$ を引きます。

$\frac{- 43}{16}$

ステップ 4.2.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{43}{16}$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 1), (- \frac{3}{2}, - \frac{43}{16})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例