微分積分例

$f (x) = x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x^{3}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 10$ をかけます。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $24$ をかけます。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.4.3

$3$ に $1$ をかけます。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.5.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 + 0$

ステップ 1.1.5.2

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$ です。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 = 0$

ステップ 2.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$x \approx - 0.0602156, 2.42586556, 5.13435004$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 0.0602156$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 0.0602156$ を $x$ に代入します。

${(- 0.0602156)}^{4} - 10 {(- 0.0602156)}^{3} + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 0.0602156$ を $4$ 乗します。

$0.00001314 - 10 {(- 0.0602156)}^{3} + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 0.0602156$ を $3$ 乗します。

$0.00001314 - 10 \cdot - 0.00021833 + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 10$ に $- 0.00021833$ をかけます。

$0.00001314 + 0.00218336 + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 0.0602156$ を $2$ 乗します。

$0.00001314 + 0.00218336 + 24 \cdot 0.00362591 + 3 (- 0.0602156) + 5$

ステップ 4.1.2.1.5

$24$ に $0.00362591$ をかけます。

$0.00001314 + 0.00218336 + 0.08702206 + 3 (- 0.0602156) + 5$

ステップ 4.1.2.1.6

$3$ に $- 0.0602156$ をかけます。

$0.00001314 + 0.00218336 + 0.08702206 - 0.18064681 + 5$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$0.00001314$ と $0.00218336$ をたし算します。

$0.00219651 + 0.08702206 - 0.18064681 + 5$

ステップ 4.1.2.2.2

$0.00219651$ と $0.08702206$ をたし算します。

$0.08921857 - 0.18064681 + 5$

ステップ 4.1.2.2.3

$0.08921857$ から $0.18064681$ を引きます。

$- 0.09142824 + 5$

ステップ 4.1.2.2.4

$- 0.09142824$ と $5$ をたし算します。

$4.90857175$

ステップ 4.2

$x = 2.42586556$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2.42586556$ を $x$ に代入します。

${(2.42586556)}^{4} - 10 {(2.42586556)}^{3} + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2.42586556$ を $4$ 乗します。

$34.63115044 - 10 {(2.42586556)}^{3} + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

ステップ 4.2.2.1.2

$2.42586556$ を $3$ 乗します。

$34.63115044 - 10 \cdot 14.27579126 + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 10$ に $14.27579126$ をかけます。

$34.63115044 - 142.75791264 + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

ステップ 4.2.2.1.4

$2.42586556$ を $2$ 乗します。

$34.63115044 - 142.75791264 + 24 \cdot 5.88482373 + 3 (2.42586556) + 5$

ステップ 4.2.2.1.5

$24$ に $5.88482373$ をかけます。

$34.63115044 - 142.75791264 + 141.23576974 + 3 (2.42586556) + 5$

ステップ 4.2.2.1.6

$3$ に $2.42586556$ をかけます。

$34.63115044 - 142.75791264 + 141.23576974 + 7.27759669 + 5$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$34.63115044$ から $142.75791264$ を引きます。

$- 108.1267622 + 141.23576974 + 7.27759669 + 5$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 108.1267622$ と $141.23576974$ をたし算します。

$33.10900753 + 7.27759669 + 5$

ステップ 4.2.2.2.3

$33.10900753$ と $7.27759669$ をたし算します。

$40.38660422 + 5$

ステップ 4.2.2.2.4

$40.38660422$ と $5$ をたし算します。

$45.38660422$

ステップ 4.3

$x = 5.13435004$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$5.13435004$ を $x$ に代入します。

${(5.13435004)}^{4} - 10 {(5.13435004)}^{3} + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$5.13435004$ を $4$ 乗します。

$694.93133641 - 10 {(5.13435004)}^{3} + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

ステップ 4.3.2.1.2

$5.13435004$ を $3$ 乗します。

$694.93133641 - 10 \cdot 135.34942707 + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 10$ に $135.34942707$ をかけます。

$694.93133641 - 1353.49427072 + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

ステップ 4.3.2.1.4

$5.13435004$ を $2$ 乗します。

$694.93133641 - 1353.49427072 + 24 \cdot 26.36155034 + 3 (5.13435004) + 5$

ステップ 4.3.2.1.5

$24$ に $26.36155034$ をかけます。

$694.93133641 - 1353.49427072 + 632.67720819 + 3 (5.13435004) + 5$

ステップ 4.3.2.1.6

$3$ に $5.13435004$ をかけます。

$694.93133641 - 1353.49427072 + 632.67720819 + 15.40305012 + 5$

ステップ 4.3.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$694.93133641$ から $1353.49427072$ を引きます。

$- 658.5629343 + 632.67720819 + 15.40305012 + 5$

ステップ 4.3.2.2.2

$- 658.5629343$ と $632.67720819$ をたし算します。

$- 25.88572611 + 15.40305012 + 5$

ステップ 4.3.2.2.3

$- 25.88572611$ と $15.40305012$ をたし算します。

$- 10.48267598 + 5$

ステップ 4.3.2.2.4

$- 10.48267598$ と $5$ をたし算します。

$- 5.48267598$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(- 0.0602156, 4.90857175), (2.42586556, 45.38660422), (5.13435004, - 5.48267598)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例