微分積分例

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (y) = y - 3$ および $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ のとき、 $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ は $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $y - 3$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ です。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 3$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$y^{2} - 3 y + 9$ に $1$ をかけます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

総和則では、 $y^{2} - 3 y + 9$ の $y$ に関する積分は $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ です。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$- 3$ は $y$ に対して定数なので、 $y$ に対する $- 3 y$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ です。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ は $n y^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10

$9$ は $y$ について定数なので、 $y$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11

$2 y - 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- y + 3) (2 y - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.2.1.3.1.2.1

$y$ を移動させます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.5

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.6

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.2

$3 y$ と $6 y$ をたし算します。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.2

$y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.3.2.2.1

$9$ から $9$ を引きます。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.2.2

$y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ と $0$ をたし算します。

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.3

$y^{2}$ から $2 y^{2}$ を引きます。

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.4

$- 3 y$ と $9 y$ をたし算します。

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$y$ を $- y^{2} + 6 y$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

$y$ を $- y^{2}$ で因数分解します。

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

$y$ を $6 y$ で因数分解します。

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.3

$y$ を $y (- y) + y \cdot 6$ で因数分解します。

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

$6$ を $- 1 (- 6)$ に書き換えます。

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

$- 1$ を $- (y) - 1 (- 6)$ で因数分解します。

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.7

$- (y - 6)$ を $- 1 (y - 6)$ に書き換えます。

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ です。

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$y (y - 6) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$y (y - 6)$ を簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

分配則を当てはめます。

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

ステップ 2.3.1.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1.2.1

$y$ に $y$ をかけます。

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

ステップ 2.3.1.2.2

$- 6$ を $y$ の左に移動させます。

$y^{2} - 6 y = 0$

ステップ 2.3.2

$y$ を $y^{2} - 6 y$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.2.1

$y$ を $y^{2}$ で因数分解します。

$y \cdot y - 6 y = 0$

ステップ 2.3.2.2

$y$ を $- 6 y$ で因数分解します。

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

ステップ 2.3.2.3

$y$ を $y \cdot y + y \cdot - 6$ で因数分解します。

$y (y - 6) = 0$

ステップ 2.3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y = 0$

$y - 6 = 0$

ステップ 2.3.4

$y$ が $0$ に等しいとします。

$y = 0$

ステップ 2.3.5

$y - 6$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 2.3.5.1

$y - 6$ が $0$ に等しいとします。

$y - 6 = 0$

ステップ 2.3.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y = 6$

ステップ 2.3.6

最終解は $y (y - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 0, 6$

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

ステップ 3.2

点のすべてを一覧にします。

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例