微分積分例

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x + 2$ および $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x^{2} - 3 x - 10$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

総和則では、 $x^{2} - 3 x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.10

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.11

$2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 2) (2 x - 3)$ を展開します。

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ステップ 1.1.3.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.1.3.2.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.3.2.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.2.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.5

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.1.6

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.1.3.2

$3 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.2

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.3

$- 3 x$ から $x$ を引きます。

$\frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.4

$- 10$ と $6$ をたし算します。

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

群による因数分解。

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ステップ 1.1.3.3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ で和が $b = - 4$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.1.3.3.1.1

$- 4$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$\frac{- x^{2} - 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.2

$- 4$ を $- 2$ プラス $- 2$ に書き換える

$\frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.1.3.3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3.3

最大公約数 $- x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

分母を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 3 x - 10$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 10$ で、その和が $- 3$ です。

$- 5, 2$

ステップ 1.1.3.4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

積の法則を $(x - 5) (x + 2)$ に当てはめます。

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.2

$- 2$ を $- 1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (2)$ で因数分解します。

$\frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.4

$- (x + 2)$ を $- 1 (x + 2)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.5

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.6

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5.8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

${(x + 2)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ です。

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 5)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$5$ を $x$ に代入します。

$\frac{(5) + 2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 - 10}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{(5) + 2}{25 - 3 \cdot 5 - 10}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 3$ に $5$ をかけます。

$\frac{(5) + 2}{25 - 15 - 10}$

ステップ 4.1.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$25$ から $15$ を引きます。

$\frac{(5) + 2}{10 - 10}$

ステップ 4.1.2.2.2

$10$ から $10$ を引きます。

$\frac{(5) + 2}{0}$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{(5) + 2}{0}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

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