微分積分例

$f (x) = x^{6} {(x - 3)}^{5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{6}$ および $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{6} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{5}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 3$ とします。

$f' (x) = x^{6} (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{6} (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 3$ で置き換えます。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

ステップ 1.1.3.3

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \cdot 1) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

ステップ 1.1.3.4.2

$5$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

ステップ 1.1.3.5

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} (6 x^{5})$

ステップ 1.1.3.6

$6$ を ${(x - 3)}^{5}$ の左に移動させます。

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 \cdot ({(x - 3)}^{5} x^{5})$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

$x^{5} {(x - 3)}^{4}$ を $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.4.1.1

$x^{5} {(x - 3)}^{4}$ を $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4})$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$

ステップ 1.1.4.1.2

$x^{5} {(x - 3)}^{4}$ を $6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$

ステップ 1.1.4.1.3

$x^{5} {(x - 3)}^{4}$ を $x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$ で因数分解します。

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5) + 6 (x - 3))$

ステップ 1.1.4.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$ です。

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{5} = 0$

${(x - 3)}^{4} = 0$

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

ステップ 2.3

$x^{5}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x^{5}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{5} = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ について $x^{5} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

ステップ 2.3.2.2

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.3.2.2.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 2.3.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.4

${(x - 3)}^{4}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

${(x - 3)}^{4}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 3)}^{4} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について ${(x - 3)}^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4.2.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.5

$5 x + 6 (x - 3)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$5 x + 6 (x - 3)$ が $0$ に等しいとします。

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $5 x + 6 (x - 3) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

$5 x + 6 (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$5 x + 6 x + 6 \cdot - 3 = 0$

ステップ 2.5.2.1.1.2

$6$ に $- 3$ をかけます。

$5 x + 6 x - 18 = 0$

ステップ 2.5.2.1.2

$5 x$ と $6 x$ をたし算します。

$11 x - 18 = 0$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺に $18$ を足します。

$11 x = 18$

ステップ 2.5.2.3

$11 x = 18$ の各項を $11$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$11 x = 18$ の各項を $11$ で割ります。

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

ステップ 2.5.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.2.1

$11$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

ステップ 2.5.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{18}{11}$

ステップ 2.6

最終解は $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 3, \frac{18}{11}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{6} {(x - 3)}^{5}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{6} {((0) - 3)}^{5}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 {((0) - 3)}^{5}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ から $3$ を引きます。

$0 {(- 3)}^{5}$

ステップ 4.1.2.3

$- 3$ を $5$ 乗します。

$0 \cdot - 243$

ステップ 4.1.2.4

$0$ に $- 243$ をかけます。

$0$

ステップ 4.2

$x = 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$3$ を $x$ に代入します。

${(3)}^{6} {((3) - 3)}^{5}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$3$ を $6$ 乗します。

$729 {((3) - 3)}^{5}$

ステップ 4.2.2.2

$3$ から $3$ を引きます。

$729 \cdot 0^{5}$

ステップ 4.2.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$729 \cdot 0$

ステップ 4.2.2.4

$729$ に $0$ をかけます。

$0$

ステップ 4.3

$x = \frac{18}{11}$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{18}{11}$ を $x$ に代入します。

${(\frac{18}{11})}^{6} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

ステップ 4.3.2

簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

積の法則を $\frac{18}{11}$ に当てはめます。

$\frac{18^{6}}{11^{6}} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

ステップ 4.3.2.2

$18$ を $6$ 乗します。

$\frac{34012224}{11^{6}} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

ステップ 4.3.2.3

$11$ を $6$ 乗します。

$\frac{34012224}{1771561} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

ステップ 4.3.2.4

$- 3$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{11}{11}$ を掛けます。

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18}{11} - 3 \cdot \frac{11}{11})}^{5}$

ステップ 4.3.2.5

$- 3$ と $\frac{11}{11}$ をまとめます。

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18}{11} + \frac{- 3 \cdot 11}{11})}^{5}$

ステップ 4.3.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18 - 3 \cdot 11}{11})}^{5}$

ステップ 4.3.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 4.3.2.7.1

$- 3$ に $11$ をかけます。

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18 - 33}{11})}^{5}$

ステップ 4.3.2.7.2

$18$ から $33$ を引きます。

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{- 15}{11})}^{5}$

ステップ 4.3.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{34012224}{1771561} {(- \frac{15}{11})}^{5}$

ステップ 4.3.2.9

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 4.3.2.9.1

積の法則を $- \frac{15}{11}$ に当てはめます。

$\frac{34012224}{1771561} ({(- 1)}^{5} {(\frac{15}{11})}^{5})$

ステップ 4.3.2.9.2

積の法則を $\frac{15}{11}$ に当てはめます。

$\frac{34012224}{1771561} ({(- 1)}^{5} \frac{15^{5}}{11^{5}})$

ステップ 4.3.2.10

$- 1$ を $5$ 乗します。

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{15^{5}}{11^{5}})$

ステップ 4.3.2.11

$15$ を $5$ 乗します。

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{11^{5}})$

ステップ 4.3.2.12

$11$ を $5$ 乗します。

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{161051})$

ステップ 4.3.2.13

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{161051})$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.13.1

$\frac{34012224}{1771561}$ に $\frac{759375}{161051}$ をかけます。

$- \frac{34012224 \cdot 759375}{1771561 \cdot 161051}$

ステップ 4.3.2.13.2

$34012224$ に $759375$ をかけます。

$- \frac{25828032600000}{1771561 \cdot 161051}$

ステップ 4.3.2.13.3

$1771561$ に $161051$ をかけます。

$- \frac{25828032600000}{285311670611}$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, 0), (3, 0), (\frac{18}{11}, - \frac{25828032600000}{285311670611})$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例