微分積分例

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 5 x^{3}$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 5$ をかけます。

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.3.3

$- 20$ に $1$ をかけます。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ です。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$

ステップ 2.2

$u = x^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$5 u^{2} - 15 u - 20 = 0$

$u = x^{2}$

ステップ 2.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$5$ を $5 u^{2} - 15 u - 20$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1

$5$ を $5 u^{2}$ で因数分解します。

$5 (u^{2}) - 15 u - 20 = 0$

ステップ 2.3.1.2

$5$ を $- 15 u$ で因数分解します。

$5 (u^{2}) + 5 (- 3 u) - 20 = 0$

ステップ 2.3.1.3

$5$ を $- 20$ で因数分解します。

$5 u^{2} + 5 (- 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.3.1.4

$5$ を $5 u^{2} + 5 (- 3 u)$ で因数分解します。

$5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

ステップ 2.3.1.5

$5$ を $5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4$ で因数分解します。

$5 (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

ステップ 2.3.2

因数分解。

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ステップ 2.3.2.1

たすき掛けを利用して $u^{2} - 3 u - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $- 3$ です。

$- 4, 1$

ステップ 2.3.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$5 ((u - 4) (u + 1)) = 0$

ステップ 2.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$5 (u - 4) (u + 1) = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 2.5

$u - 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$u - 4$ が $0$ に等しいとします。

$u - 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$u = 4$

ステップ 2.6

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 2.7

最終解は $5 (u - 4) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 4, - 1$

ステップ 2.8

$u = x^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

ステップ 2.9

$x$ について第1方程式を解きます。

$x^{2} = 4$

ステップ 2.10

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.10.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 2.10.2

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 2.10.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 2.10.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 2.10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.10.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 2.10.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 2.10.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 2.11

$x$ について二次方程式を解きます。

${(x^{2})}^{1} = - 1$

ステップ 2.12

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.12.1

括弧を削除します。

$x^{2} = - 1$

ステップ 2.12.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 1}$

ステップ 2.12.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i$

ステップ 2.12.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.12.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i$

ステップ 2.12.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i$

ステップ 2.12.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i, - i$

ステップ 2.13

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ の解は $x = 2, - 2, i, - i$ です。

$x = 2, - 2, i, - i$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{5} - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $5$ 乗します。

$32 - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$32 - 5 \cdot 8 - 20 \cdot 2 - 2$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 5$ に $8$ をかけます。

$32 - 40 - 20 \cdot 2 - 2$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 20$ に $2$ をかけます。

$32 - 40 - 40 - 2$

ステップ 4.1.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$32$ から $40$ を引きます。

$- 8 - 40 - 2$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 8$ から $40$ を引きます。

$- 48 - 2$

ステップ 4.1.2.2.3

$- 48$ から $2$ を引きます。

$- 50$

ステップ 4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${(- 2)}^{5} - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 2$ を $5$ 乗します。

$- 32 - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 32 - 5 \cdot - 8 - 20 \cdot - 2 - 2$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 5$ に $- 8$ をかけます。

$- 32 + 40 - 20 \cdot - 2 - 2$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 20$ に $- 2$ をかけます。

$- 32 + 40 + 40 - 2$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 32$ と $40$ をたし算します。

$8 + 40 - 2$

ステップ 4.2.2.2.2

$8$ と $40$ をたし算します。

$48 - 2$

ステップ 4.2.2.2.3

$48$ から $2$ を引きます。

$46$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, - 50), (- 2, 46)$

ステップ 5

微分積分 例

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