微分積分例

$f (x) = x^{5} - 10 x^{3} - 8$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 x^{3}$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 x^{4} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 10$ をかけます。

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8)$

ステップ 1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 8$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 8$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.3.2

$5 x^{4} - 30 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4} - 30 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $5 x^{4} - 30 x^{2}$ です。

$5 x^{4} - 30 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$5 x^{4} - 30 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$5 {(x^{2})}^{2} - 30 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$5 u^{2} - 30 u = 0$

ステップ 2.2.3

$5 u$ を $5 u^{2} - 30 u$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.3.1

$5 u$ を $5 u^{2}$ で因数分解します。

$5 u (u) - 30 u = 0$

ステップ 2.2.3.2

$5 u$ を $- 30 u$ で因数分解します。

$5 u (u) + 5 u (- 6) = 0$

ステップ 2.2.3.3

$5 u$ を $5 u (u) + 5 u (- 6)$ で因数分解します。

$5 u (u - 6) = 0$

ステップ 2.2.4

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x^{2} - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x^{2} - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $x^{2} - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x^{2} = 6$

ステップ 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{6}$

ステップ 2.5.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 2.6

最終解は $5 x^{2} (x^{2} - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{5} - 10 x^{3} - 8$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{5} - 10 {(0)}^{3} - 8$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 10 {(0)}^{3} - 8$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 10 \cdot 0 - 8$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 10$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 8$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 - 8$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ から $8$ を引きます。

$- 8$

ステップ 4.2

$x = \sqrt{6}$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$\sqrt{6}$ を $x$ に代入します。

${(\sqrt{6})}^{5} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

${\sqrt{6}}^{5}$ を $\sqrt{6^{5}}$ に書き換えます。

$\sqrt{6^{5}} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.2.2.1.2

$6$ を $5$ 乗します。

$\sqrt{7776} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.2.2.1.3

$7776$ を $36^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.3.1

$1296$ を $7776$ で因数分解します。

$\sqrt{1296 (6)} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.2.2.1.3.2

$1296$ を $36^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.2.2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$36 \sqrt{6} - 10 {(\sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.2.2.1.5

${\sqrt{6}}^{3}$ を $\sqrt{6^{3}}$ に書き換えます。

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{3}} - 8$

ステップ 4.2.2.1.6

$6$ を $3$ 乗します。

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{216} - 8$

ステップ 4.2.2.1.7

$216$ を $6^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.7.1

$36$ を $216$ で因数分解します。

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{36 (6)} - 8$

ステップ 4.2.2.1.7.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$36 \sqrt{6} - 10 \sqrt{6^{2} \cdot 6} - 8$

ステップ 4.2.2.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$36 \sqrt{6} - 10 (6 \sqrt{6}) - 8$

ステップ 4.2.2.1.9

$6$ に $- 10$ をかけます。

$36 \sqrt{6} - 60 \sqrt{6} - 8$

ステップ 4.2.2.2

$36 \sqrt{6}$ から $60 \sqrt{6}$ を引きます。

$- 24 \sqrt{6} - 8$

ステップ 4.3

$x = - \sqrt{6}$ での値を求めます。

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ステップ 4.3.1

$- \sqrt{6}$ を $x$ に代入します。

${(- \sqrt{6})}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.3.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $- \sqrt{6}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{5} {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ を $5$ 乗します。

$- {\sqrt{6}}^{5} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{6}}^{5}$ を $\sqrt{6^{5}}$ に書き換えます。

$- \sqrt{6^{5}} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.3.2.1.4

$6$ を $5$ 乗します。

$- \sqrt{7776} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.3.2.1.5

$7776$ を $36^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.5.1

$1296$ を $7776$ で因数分解します。

$- \sqrt{1296 (6)} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.3.2.1.5.2

$1296$ を $36^{2}$ に書き換えます。

$- \sqrt{36^{2} \cdot 6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.3.2.1.6

累乗根の下から項を取り出します。

$- (36 \sqrt{6}) - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.3.2.1.7

$36$ に $- 1$ をかけます。

$- 36 \sqrt{6} - 10 {(- \sqrt{6})}^{3} - 8$

ステップ 4.3.2.1.8

積の法則を $- \sqrt{6}$ に当てはめます。

$- 36 \sqrt{6} - 10 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}) - 8$

ステップ 4.3.2.1.9

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- {\sqrt{6}}^{3}) - 8$

ステップ 4.3.2.1.10

${\sqrt{6}}^{3}$ を $\sqrt{6^{3}}$ に書き換えます。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{3}}) - 8$

ステップ 4.3.2.1.11

$6$ を $3$ 乗します。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{216}) - 8$

ステップ 4.3.2.1.12

$216$ を $6^{2} \cdot 6$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.12.1

$36$ を $216$ で因数分解します。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{36 (6)}) - 8$

ステップ 4.3.2.1.12.2

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- \sqrt{6^{2} \cdot 6}) - 8$

ステップ 4.3.2.1.13

累乗根の下から項を取り出します。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- (6 \sqrt{6})) - 8$

ステップ 4.3.2.1.14

$6$ に $- 1$ をかけます。

$- 36 \sqrt{6} - 10 (- 6 \sqrt{6}) - 8$

ステップ 4.3.2.1.15

$- 6$ に $- 10$ をかけます。

$- 36 \sqrt{6} + 60 \sqrt{6} - 8$

ステップ 4.3.2.2

$- 36 \sqrt{6}$ と $60 \sqrt{6}$ をたし算します。

$24 \sqrt{6} - 8$

ステップ 4.4

点のすべてを一覧にします。

$(0, - 8), (\sqrt{6}, - 24 \sqrt{6} - 8), (- \sqrt{6}, 24 \sqrt{6} - 8)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例