微分積分例

$f (x) = \frac{x - 1}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - (x - 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x - (x - 1) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x - (x - 1)}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - x - - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.2

$0$ から $- 1$ を引きます。

$\frac{- - 1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.3.2.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{x^{2}}$ です。

$\frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{1}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 3.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 3.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 3.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $\frac{x - 1}{x}$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

$\frac{(0) - 1}{0}$

ステップ 4.1.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 5

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

微分積分 例

微分積分例