微分積分例

$\cos^{2} (\frac{7 π}{8})$

ステップ 1

$\cos (\frac{7 π}{8})$ の厳密値は $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ です。

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ステップ 1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{7 π}{8}$ を書き直します。

$\cos^{2} (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

ステップ 1.2

余弦半角の公式 $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})}^{2}$

ステップ 1.3

余弦が第二象限で負なので、 $\pm$ を $-$ に変えます。

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})}^{2}$

ステップ 1.4

$- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})}^{2}$

ステップ 1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

${(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2}$

ステップ 1.4.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2}$

ステップ 1.4.4

公分母の分子をまとめます。

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2}$

ステップ 1.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

${(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 1.4.6

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.6.1

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

${(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2}$

ステップ 1.4.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

${(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})}^{2}$

ステップ 1.4.7

$\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

${(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

ステップ 1.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 1.4.8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

ステップ 1.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

${(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

ステップ 2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 2.1

積の法則を $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

ステップ 2.2

積の法則を $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 3.2

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4

${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ を $2 + \sqrt{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ を ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

ステップ 4.5

簡約します。

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

ステップ 5

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

10進法形式：

$0.85355339 \dots$

微分積分 例

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