微分積分例

$f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ を方程式で書きます。

$y = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{6}{5} \cdot \cos (y)$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$ として書き換えます。

$\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $\frac{5}{6}$ を掛けます。

$\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

ステップ 3.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

$\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y))$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1.1

$\frac{6}{5}$ と $\cos (y)$ をまとめます。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

ステップ 3.3.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

ステップ 3.3.1.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

ステップ 3.3.1.1.3

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1.3.1

$6$ を $6 \cos (y)$ で因数分解します。

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

ステップ 3.3.1.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

ステップ 3.3.1.1.3.3

式を書き換えます。

$\cos (y) = \frac{5}{6} x$

ステップ 3.3.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{5}{6}$ と $x$ をまとめます。

$\cos (y) = \frac{5 x}{6}$

ステップ 3.4

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $y$ を取り出します。

$y = \arccos (\frac{5 x}{6})$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ が $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{5 (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))}{6})$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$5$ と $\frac{6}{5}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot 6}{5} \cdot \cos (x)}{6})$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{5 \cdot 6}{5}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot (6 \cos (x))}{5}}{6})$

ステップ 5.2.4

$5$ に $6$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{30 \cos (x)}{5}}{6})$

ステップ 5.2.5

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.5.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{30 \cos (x)}{5}$ を約分します。

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ステップ 5.2.5.1.1

$5$ を $30 \cos (x)$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5}}{6})$

ステップ 5.2.5.1.2

$5$ を $5$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 (1)}}{6})$

ステップ 5.2.5.1.3

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 \cdot 1}}{6})$

ステップ 5.2.5.1.4

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{6 \cos (x)}{1}}{6})$

ステップ 5.2.5.2

$6 \cos (x)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

ステップ 5.2.6

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

ステップ 5.2.6.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\arccos (\frac{5 x}{6}))$ の値を求めます。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \cos (\arccos (\frac{5 x}{6}))$

ステップ 5.3.3

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

ステップ 5.3.4

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

ステップ 5.3.4.2

式を書き換えます。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

ステップ 5.3.5

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.5.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

ステップ 5.3.5.2

共通因数を約分します。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

ステップ 5.3.5.3

式を書き換えます。

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ は $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$

微分積分 例

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