微分積分例

$\sum_{x = 1}^{8} 15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$

ステップ 1

$a$ が第1項、 $r$ が連続する項の間の比の時、有限等比級数の和は公式 $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ を利用して求められます。

ステップ 2

公式 $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ に代入し簡約することで、連続する項の比を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$a_{x}$ と $a_{x + 1}$ を $r$ の公式に代入します。

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

ステップ 2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

ステップ 2.2.2

${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ と ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ を ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ で因数分解します。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

ステップ 2.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$1$ を掛けます。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

ステップ 2.2.2.2.3

式を書き換えます。

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{1}$

ステップ 2.2.2.2.4

${(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$ を $1$ で割ります。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$

ステップ 2.2.3

$x$ と $0$ をたし算します。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - (x - 1)}$

ステップ 2.2.4

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x - - 1}$

ステップ 2.2.4.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x + 1}$

ステップ 2.2.5

$x$ から $x$ を引きます。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{0 + 1}$

ステップ 2.2.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$r = {(- \frac{5}{7})}^{1}$

ステップ 2.2.7

簡約します。

$r = - \frac{5}{7}$

ステップ 3

下界に代入し簡約することで級数の第1項を求めます。

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ステップ 3.1

$x$ の $1$ を $15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ に代入します。

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{1 - 1}$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{0}$

ステップ 3.2.2

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.2.2.1

積の法則を $- \frac{5}{7}$ に当てはめます。

$a = 15 ({(- 1)}^{0} {(\frac{5}{7})}^{0})$

ステップ 3.2.2.2

積の法則を $\frac{5}{7}$ に当てはめます。

$a = 15 ({(- 1)}^{0} \frac{5^{0}}{7^{0}})$

ステップ 3.2.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 15 (1 \frac{5^{0}}{7^{0}})$

ステップ 3.2.4

$\frac{5^{0}}{7^{0}}$ に $1$ をかけます。

$a = 15 \frac{5^{0}}{7^{0}}$

ステップ 3.2.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 15 \frac{1}{7^{0}}$

ステップ 3.2.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$a = 15 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.7

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.7.1

共通因数を約分します。

$a = 15 (\frac{1}{1})$

ステップ 3.2.7.2

式を書き換えます。

$a = 15 \cdot 1$

ステップ 3.2.8

$15$ に $1$ をかけます。

$a = 15$

ステップ 4

比、第1項、および項数の値を和の公式に代入します。

$15 \frac{1 - {(- \frac{5}{7})}^{8}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 5.1.1.1

積の法則を $- \frac{5}{7}$ に当てはめます。

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{5}{7})}^{8})}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.1.2

積の法則を $\frac{5}{7}$ に当てはめます。

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{5^{8}}{7^{8}})}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.2

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{8}$ を掛けます。

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ステップ 5.1.2.1

${(- 1)}^{8}$ を移動させます。

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.2.2

${(- 1)}^{8}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 5.1.2.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.2.3

$8$ と $1$ をたし算します。

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.3

$- 1$ を $9$ 乗します。

$15 \frac{1 - \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.4

$5$ を $8$ 乗します。

$15 \frac{1 - \frac{390625}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.5

$7$ を $8$ 乗します。

$15 \frac{1 - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$15 \frac{\frac{5764801}{5764801} - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.7

公分母の分子をまとめます。

$15 \frac{\frac{5764801 - 390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.1.8

$5764801$ から $390625$ を引きます。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- - \frac{5}{7}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + 1 (\frac{5}{7})}$

ステップ 5.2.1.2

$\frac{5}{7}$ に $1$ をかけます。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + \frac{5}{7}}$

ステップ 5.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7}{7} + \frac{5}{7}}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7 + 5}{7}}$

ステップ 5.2.4

$7$ と $5$ をたし算します。

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{12}{7}}$

ステップ 5.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$15 (\frac{5374176}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

ステップ 5.4

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

$12$ を $5374176$ で因数分解します。

$15 (\frac{12 (447848)}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

ステップ 5.4.2

共通因数を約分します。

$15 (\frac{12 \cdot 447848}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

ステップ 5.4.3

式を書き換えます。

$15 (\frac{447848}{5764801} \cdot 7)$

ステップ 5.5

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.1

$7$ を $5764801$ で因数分解します。

$15 (\frac{447848}{7 (823543)} \cdot 7)$

ステップ 5.5.2

共通因数を約分します。

$15 (\frac{447848}{7 \cdot 823543} \cdot 7)$

ステップ 5.5.3

式を書き換えます。

$15 (\frac{447848}{823543})$

ステップ 5.6

$15 (\frac{447848}{823543})$ を掛けます。

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ステップ 5.6.1

$15$ と $\frac{447848}{823543}$ をまとめます。

$\frac{15 \cdot 447848}{823543}$

ステップ 5.6.2

$15$ に $447848$ をかけます。

$\frac{6717720}{823543}$

微分積分 例

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