微分積分例

$f (x) = 11 - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

ステップ 1

代入で解き曲線間の交点を求めます。

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ステップ 1.1

各方程式の等辺を消去し、組み合わせます。

$11 - 3 x^{2} = 0$

ステップ 1.2

$x$ について $11 - 3 x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$- 3 x^{2} = - 11$

ステップ 1.2.2

$- 3 x^{2} = - 11$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 3 x^{2} = - 11$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

ステップ 1.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 11}{- 3}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{2} = \frac{11}{3}$

ステップ 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{11}{3}}$

ステップ 1.2.4

$\pm \sqrt{\frac{11}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

$\sqrt{\frac{11}{3}}$ を $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.4.2

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.4.3

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.4.3.1

$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.4.3.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.4.3.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 1.2.4.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.4.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.4.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.4.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.4.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.4.3.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 1.2.4.3.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.4.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.4.4.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

ステップ 1.2.4.4.2

$11$ に $3$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$

ステップ 1.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}$

ステップ 1.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{33}}{3}$

ステップ 1.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}, - \frac{\sqrt{33}}{3}$

ステップ 1.3

$\frac{\sqrt{33}}{3}$ を $x$ に代入します。

$y = 0$

ステップ 1.4

式の解は、有効な解である順序対の完全集合です。

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

ステップ 2

$11$ と $- 3 x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - 3 x^{2} + 11$

ステップ 3

曲線間の領域の面積は、各領域における上の曲線の積分から下の曲線の積分を差し引いたものとして定義されます。領域は、曲線の交点で決定します。これは、代数計算またはグラフで行うことができます。

$A r e a = \int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

ステップ 4

積分し、 $0$ と $1$ の間の面積を求めます。

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ステップ 4.1

積分を1つにまとめます。

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 - (0) d x$

ステップ 4.2

$- 3 x^{2} + 11$ から $0$ を引きます。

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x$

ステップ 4.3

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

ステップ 4.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $- 3$ を積分の外に移動させます。

$- 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

ステップ 4.5

べき乗則では、 $x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{3} x^{3}$ です。

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

ステップ 4.6

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

ステップ 4.7

定数の法則を当てはめます。

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 11 x]_{0}^{1}$

ステップ 4.8

代入し簡約します。

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ステップ 4.8.1

$1$ および $0$ で $\frac{x^{3}}{3}$ の値を求めます。

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 11 x]_{0}^{1}$

ステップ 4.8.2

$1$ および $0$ で $11 x$ の値を求めます。

$- 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3

簡約します。

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ステップ 4.8.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.3

$0$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.3.3.1

$3$ を $0$ で因数分解します。

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.3.3.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.3.2.3

式を書き換えます。

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.3.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$- 3 (\frac{1}{3} - 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- 3 (\frac{1}{3} + 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.5

$\frac{1}{3}$ と $0$ をたし算します。

$- 3 (\frac{1}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.6

$- 3$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.7

$- 3$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.3.7.1

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.7.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.8.3.7.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.7.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- 1 + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.8

$11$ に $1$ をかけます。

$- 1 + 11 - 11 \cdot 0$

ステップ 4.8.3.9

$- 11$ に $0$ をかけます。

$- 1 + 11 + 0$

ステップ 4.8.3.10

$11$ と $0$ をたし算します。

$- 1 + 11$

ステップ 4.8.3.11

$- 1$ と $11$ をたし算します。

$10$

ステップ 5

微分積分 例

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