微分積分例

$f (x) = 2 x^{4} + 8 x^{3}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $2 x^{4} + 8 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{4}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$4$ に $2$ をかけます。

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$8 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x^{3} + 8 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $8$ をかけます。

$f' (x) = 8 x^{3} + 24 x^{2}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $8 x^{3} + 24 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{2}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$24 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{2} + 24 (2 x)$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $24$ をかけます。

$f'' (x) = 24 x^{2} + 48 x$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $24 x^{2} + 48 x$ です。

$24 x^{2} + 48 x$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x^{2} + 48 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x^{2} + 48 x = 0$

ステップ 1.2.2

$24 x$ を $24 x^{2} + 48 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$24 x$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$24 x (x) + 48 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$24 x$ を $48 x$ で因数分解します。

$24 x (x) + 24 x (2) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$24 x$ を $24 x (x) + 24 x (2)$ で因数分解します。

$24 x (x + 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 1.2.6

最終解は $24 x (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = 24 {(- 4)}^{2} + 48 (- 4)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = 24 \cdot 16 + 48 (- 4)$

ステップ 4.2.1.2

$24$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = 384 + 48 (- 4)$

ステップ 4.2.1.3

$48$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = 384 - 192$

ステップ 4.2.2

$384$ から $192$ を引きます。

$f'' (- 4) = 192$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $192$ です。

$192$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 2)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 2)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 2, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = 24 {(- 1)}^{2} + 48 (- 1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1) = 24 \cdot 1 + 48 (- 1)$

ステップ 5.2.1.2

$24$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 24 + 48 (- 1)$

ステップ 5.2.1.3

$48$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 24 - 48$

ステップ 5.2.2

$24$ から $48$ を引きます。

$f'' (- 1) = - 24$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 24$ です。

$- 24$

ステップ 5.3

$f'' (- 1)$ が負なので、区間 $(- 2, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 2, 0)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = 24 {(2)}^{2} + 48 (2)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = 24 \cdot 4 + 48 (2)$

ステップ 6.2.1.2

$24$ に $4$ をかけます。

$f'' (2) = 96 + 48 (2)$

ステップ 6.2.1.3

$48$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = 96 + 96$

ステップ 6.2.2

$96$ と $96$ をたし算します。

$f'' (2) = 192$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $192$ です。

$192$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 2)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 2, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

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