微分積分例

$f (x) = \frac{1}{\ln (\ln (x))}$

ステップ 1

$\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\ln (\ln (x)) = 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\ln (x))} = e^{0}$

ステップ 2.2

対数の定義を利用して $\ln (\ln (x)) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = \ln (x)$

ステップ 2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式を $\ln (x) = e^{0}$ として書き換えます。

$\ln (x) = e^{0}$

ステップ 2.3.2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{e^{0}}$

ステップ 2.3.3

対数の定義を利用して $\ln (x) = e^{0}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{e^{0}} = x$

ステップ 2.3.4

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.1

方程式を $x = e^{e^{0}}$ として書き換えます。

$x = e^{e^{0}}$

ステップ 2.3.4.2

$e^{e^{0}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.4.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x = e^{1}$

ステップ 2.3.4.2.2

簡約します。

$x = e$

ステップ 3

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x \leq 0$

ステップ 4

$\ln (\ln (x))$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\ln (x) \leq 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

不等式を等式に変換します。

$\ln (x) = 0$

ステップ 5.2

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

ステップ 5.2.2

対数の定義を利用して $\ln (x) = 0$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{0} = x$

ステップ 5.2.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

方程式を $x = e^{0}$ として書き換えます。

$x = e^{0}$

ステップ 5.2.3.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$x = 1$

ステップ 5.3

$\ln (x)$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$\ln (x)$ の偏角を $0$ より大きいとして、式が定義である場所を求めます。

$x > 0$

ステップ 5.3.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(0, \infty)$

ステップ 5.4

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 5.5

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1

区間 $x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.1

区間 $x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 5.5.1.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\ln (- 2) \leq 0$

ステップ 5.5.1.3

不等式が真か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.1.3.1

未定義なので、方程式は解くことができません。

$未定義$

ステップ 5.5.1.3.2

左辺に解はありません。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.5.2

区間 $0 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.2.1

区間 $0 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.5$

ステップ 5.5.2.2

$x$ を元の不等式の $0.5$ で置き換えます。

$\ln (0.5) \leq 0$

ステップ 5.5.2.3

左辺 $- 0.69314718$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.5.3

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.5.3.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 5.5.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\ln (4) \leq 0$

ステップ 5.5.3.3

左辺 $1.38629436$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.5.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

$x < 0$ 偽

$0 < x < 1$ 真

$x > 1$ 偽

ステップ 5.6

解はすべての真の区間からなります。

$0 < x \leq 1$

ステップ 6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq 1, x = e$

$(- \infty, 1] \cup [e, e]$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例