微分積分例

$y = \ln (\tan^{2} (x))$

ステップ 1

$\ln (\tan^{2} (x))$ の偏角を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\tan^{2} (x) \leq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sqrt{\tan^{2} (x)} \leq \sqrt{0}$

ステップ 2.2

方程式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0}$

ステップ 2.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$\sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| \tan (x) | \leq | 0 |$

ステップ 2.2.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $0$ の間の距離は $0$ です。

$| \tan (x) | \leq 0$

ステップ 2.3

$| \tan (x) | \leq 0$ を区分で書きます。

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ステップ 2.3.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$\tan (x) \geq 0$

ステップ 2.3.2

$\tan (x)$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$\tan (x) \leq 0$

ステップ 2.3.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$\tan (x) < 0$

ステップ 2.3.4

$\tan (x)$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- \tan (x) \leq 0$

ステップ 2.3.5

区分で書きます。

${\begin{cases} \tan (x) \leq 0 & \tan (x) \geq 0 \\ - \tan (x) \leq 0 & \tan (x) < 0 \end{cases}$

ステップ 2.4

$\tan (x) \leq 0$ と $\tan (x) \geq 0$ の交点を求めます。

$\tan (x) = 0$

ステップ 2.5

$\tan (x) < 0$ のとき、 $- \tan (x) \leq 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$- \tan (x) \leq 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- \tan (x) \leq 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

ステップ 2.5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

ステップ 2.5.1.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) \geq \frac{0}{- 1}$

ステップ 2.5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.1.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) \geq 0$

ステップ 2.5.2

$\tan (x) \geq 0$ と $\tan (x) < 0$ の交点を求めます。

解がありません

ステップ 2.6

解の和集合を求めます。

$\tan (x) = 0$

ステップ 2.7

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 2.8

右辺を簡約します。

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ステップ 2.8.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.9

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 2.10

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 2.11

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.11.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 2.11.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 2.11.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 2.11.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.12

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.13

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.14

$\tan^{2} (x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.14.1

$\tan (x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.14.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 2.15

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

ステップ 2.16

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.16.1

区間 $0 < x < \frac{π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.16.1.1

区間 $0 < x < \frac{π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 2.16.1.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\tan^{2} (1) \leq 0$

ステップ 2.16.1.3

左辺 $2.42551882$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.16.2

区間 $\frac{π}{2} < x < π$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.16.2.1

区間 $\frac{π}{2} < x < π$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.16.2.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\tan^{2} (2) \leq 0$

ステップ 2.16.2.3

左辺 $4.7743992$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.16.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < \frac{π}{2}$ 偽

$\frac{π}{2} < x < π$ 偽

$0 < x < \frac{π}{2}$ 偽

$\frac{π}{2} < x < π$ 偽

ステップ 2.17

この区間になる数がないので、この不等式に解はありません。

解がありません

ステップ 3

$\tan (x)$ の偏角を $\frac{π}{2} + π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例