微分積分例

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 3

$1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $1$ は多項式の根です。

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ステップ 3.1

$1$ を多項式に代入します。

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 8$

ステップ 3.2

$1$ を $3$ 乗します。

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 - 8$

ステップ 3.3

$1$ を $2$ 乗します。

$1 - 5 \cdot 1 + 12 \cdot 1 - 8$

ステップ 3.4

$- 5$ に $1$ をかけます。

$1 - 5 + 12 \cdot 1 - 8$

ステップ 3.5

$1$ から $5$ を引きます。

$- 4 + 12 \cdot 1 - 8$

ステップ 3.6

$12$ に $1$ をかけます。

$- 4 + 12 - 8$

ステップ 3.7

$- 4$ と $12$ をたし算します。

$8 - 8$

ステップ 3.8

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 4

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8}{x - 1}$

ステップ 5

$x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8$ を $x - 1$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$12 x$

$8$

ステップ 5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 5.7

被除数 $- 4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{2} + 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$

ステップ 5.12

被除数 $8 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$
							+	$8 x$	-	$8$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $8 x - 8$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$
							-	$8 x$	+	$8$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$8$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$8 x$	-	$8$
							-	$8 x$	+	$8$
										$0$

ステップ 5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 4 x + 8$

ステップ 6

$x^{3} - 5 x^{2} + 12 x - 8$ を因数の集合として書き換えます。

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 4 x + 8)$

微分積分 例

微分積分例