微分積分例

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$y = 1 - \frac{1}{1}$

ステップ 1.2.3.1.2

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = 1 - \frac{1}{1}$

ステップ 1.2.3.1.2.2

式を書き換えます。

$y = 1 - 1 \cdot 1$

ステップ 1.2.3.1.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$y = 1 - 1$

ステップ 1.2.3.2

$1$ から $1$ を引きます。

$y = 0$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x - \frac{1}{x^{2}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.8

$x$ を $1$ 乗します。

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.10

$1$ から $4$ を引きます。

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 2.2.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$1 + 2 x^{- 3}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

ステップ 2.3.2

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 2.3.3

項を並べ替えます。

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

ステップ 2.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{2}{1} + 1$

ステップ 2.5.1.2

$2$ を $1$ で割ります。

$2 + 1$

ステップ 2.5.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$3$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $3$ と与えられた点 $(1, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = 3 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.2

$3 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

ステップ 3.3.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$y = 3 x - 3$

ステップ 4

微分積分 例

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