微分積分例

$f (x) = 0.5 x^{2} - 2 x - 4$ , $x = 3$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 3$ .

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ステップ 1.1

$3$ を $x$ に代入します。

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 0.5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

ステップ 1.2.3

$0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$ を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$y = 0.5 \cdot 9 - 2 \cdot 3 - 4$

ステップ 1.2.3.1.2

$0.5$ に $9$ をかけます。

$y = 4.5 - 2 \cdot 3 - 4$

ステップ 1.2.3.1.3

$- 2$ に $3$ をかけます。

$y = 4.5 - 6 - 4$

ステップ 1.2.3.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$4.5$ から $6$ を引きます。

$y = - 1.5 - 4$

ステップ 1.2.3.2.2

$- 1.5$ から $4$ を引きます。

$y = - 5.5$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 3$ と $y = - 5.5$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $0.5 x^{2} - 2 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$0.5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.5 x^{2}$ の微分係数は $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $0.5$ をかけます。

$1 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.2.4

$x$ に $1$ をかけます。

$x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$x - 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

ステップ 2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.4.1

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$x - 2 + 0$

ステップ 2.4.2

$x - 2$ と $0$ をたし算します。

$x - 2$

ステップ 2.5

$x = 3$ で微分係数を求めます。

$(3) - 2$

ステップ 2.6

$3$ から $2$ を引きます。

$1$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $1$ と与えられた点 $(3, - 5.5)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 5.5) = 1 \cdot (x - (3))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 5.5 = 1 \cdot (x - 3)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$x - 3$ に $1$ をかけます。

$y + 5.5 = x - 3$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $5.5$ を引きます。

$y = x - 3 - 5.5$

ステップ 3.3.2.2

$- 3$ から $5.5$ を引きます。

$y = x - 8.5$

ステップ 4

微分積分 例

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