微分積分例

$f (x) = x^{4} - 13 x^{2} + 36$ , $x = 2$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 2$ .

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ステップ 1.1

$2$ を $x$ に代入します。

$y = {(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

ステップ 1.2.2

括弧を削除します。

$y = 2^{4} - 13 \cdot 2^{2} + 36$

ステップ 1.2.3

括弧を削除します。

$y = {(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$

ステップ 1.2.4

${(2)}^{4} - 13 {(2)}^{2} + 36$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1.1

$2$ を $4$ 乗します。

$y = 16 - 13 {(2)}^{2} + 36$

ステップ 1.2.4.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$y = 16 - 13 \cdot 4 + 36$

ステップ 1.2.4.1.3

$- 13$ に $4$ をかけます。

$y = 16 - 52 + 36$

ステップ 1.2.4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$16$ から $52$ を引きます。

$y = - 36 + 36$

ステップ 1.2.4.2.2

$- 36$ と $36$ をたし算します。

$y = 0$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 2$ と $y = 0$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{4} - 13 x^{2} + 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [- 13 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$- 13$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 13 x^{2}$ の微分係数は $- 13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 13 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 13 (2 x) + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $- 13$ をかけます。

$4 x^{3} - 26 x + \frac{d}{d x} [36]$

ステップ 2.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$4 x^{3} - 26 x + 0$

ステップ 2.3.2

$4 x^{3} - 26 x$ と $0$ をたし算します。

$4 x^{3} - 26 x$

ステップ 2.4

$x = 2$ で微分係数を求めます。

$4 {(2)}^{3} - 26 \cdot 2$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$4 \cdot 8 - 26 \cdot 2$

ステップ 2.5.1.2

$4$ に $8$ をかけます。

$32 - 26 \cdot 2$

ステップ 2.5.1.3

$- 26$ に $2$ をかけます。

$32 - 52$

ステップ 2.5.2

$32$ から $52$ を引きます。

$- 20$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $- 20$ と与えられた点 $(2, 0)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (0) = - 20 \cdot (x - (2))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 0 = - 20 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$y$ と $0$ をたし算します。

$y = - 20 \cdot (x - 2)$

ステップ 3.3.2

$- 20 \cdot (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

分配則を当てはめます。

$y = - 20 x - 20 \cdot - 2$

ステップ 3.3.2.2

$- 20$ に $- 2$ をかけます。

$y = - 20 x + 40$

ステップ 4

微分積分 例

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