微分積分例

$f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$ , $x = 4$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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ステップ 1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

ステップ 1.2.2

$2 (4) + \frac{5}{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$y = 8 + \frac{5}{4}$

ステップ 1.2.2.2

$8$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$y = 8 \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

ステップ 1.2.2.3

$8$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$y = \frac{8 \cdot 4}{4} + \frac{5}{4}$

ステップ 1.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{8 \cdot 4 + 5}{4}$

ステップ 1.2.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.2.5.1

$8$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{32 + 5}{4}$

ステップ 1.2.2.5.2

$32$ と $5$ をたし算します。

$y = \frac{37}{4}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = \frac{37}{4}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

総和則では、 $2 x + \frac{5}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

ステップ 2.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

ステップ 2.3

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$2 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 2.3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 2.3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 + 5 (- x^{- 2})$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に $5$ をかけます。

$2 - 5 x^{- 2}$

ステップ 2.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$2 - 5 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

項をまとめます。

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ステップ 2.5.1.1

$- 5$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$2 + \frac{- 5}{x^{2}}$

ステップ 2.5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$2 - \frac{5}{x^{2}}$

ステップ 2.5.2

項を並べ替えます。

$- \frac{5}{x^{2}} + 2$

ステップ 2.6

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$- \frac{5}{{(4)}^{2}} + 2$

ステップ 2.7

簡約します。

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ステップ 2.7.1

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{5}{16} + 2$

ステップ 2.7.2

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$- \frac{5}{16} + 2 \cdot \frac{16}{16}$

ステップ 2.7.3

$2$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$- \frac{5}{16} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

ステップ 2.7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 5 + 2 \cdot 16}{16}$

ステップ 2.7.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.7.5.1

$2$ に $16$ をかけます。

$\frac{- 5 + 32}{16}$

ステップ 2.7.5.2

$- 5$ と $32$ をたし算します。

$\frac{27}{16}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{27}{16}$ と与えられた点 $(4, \frac{37}{4})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{37}{4}) = \frac{27}{16} \cdot (x - (4))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{27}{16} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{37}{4} = 0 + 0 + \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} x + \frac{27}{16} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{27}{16}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{16} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 (4)} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.5.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.6

$\frac{27}{4}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27 \cdot - 1}{4}$

ステップ 3.3.1.7

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1.7.1

$27$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27}{4}$

ステップ 3.3.1.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{37}{4}$ を足します。

$y = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4} + \frac{37}{4}$

ステップ 3.3.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27 + 37}{4}$

ステップ 3.3.2.3

$- 27$ と $37$ をたし算します。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{10}{4}$

ステップ 3.3.2.4

$10$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.4.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 (5)}{4}$

ステップ 3.3.2.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.4.2.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.3.2.4.2.3

式を書き換えます。

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{5}{2}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{27}{16} x + \frac{5}{2}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例