微分積分例

$g (x) = \frac{2 x - 3}{7 x + 4}$ , $x = 4$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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ステップ 1.1

$4$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

ステップ 1.2.2

$\frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{8 - 3}{7 (4) + 4}$

ステップ 1.2.2.1.2

$8$ から $3$ を引きます。

$y = \frac{5}{7 (4) + 4}$

ステップ 1.2.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$7$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{5}{28 + 4}$

ステップ 1.2.2.2.2

$28$ と $4$ をたし算します。

$y = \frac{5}{32}$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 4$ と $y = \frac{5}{32}$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = 2 x - 3$ および $g (x) = 7 x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(7 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $2 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{(7 x + 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(7 x + 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(7 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(7 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.5

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(7 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(7 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.6.2

$2$ を $7 x + 4$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot (7 x + 4) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.7

総和則では、 $7 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.8

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.10

$7$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.11

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + 0)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.12

式を簡約します。

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ステップ 2.2.12.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) \cdot 7}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.2.12.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (7 x + 4) - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$7$ に $2$ をかけます。

$\frac{14 x + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{14 x + 8 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.1.3

$2$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{14 x + 8 - 14 x - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.1.4

$- 7$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{14 x + 8 - 14 x + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

$14 x + 8 - 14 x + 21$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.3.2.1

$14 x$ から $14 x$ を引きます。

$\frac{0 + 8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2.2

$0$ と $8$ をたし算します。

$\frac{8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.3

$8$ と $21$ をたし算します。

$\frac{29}{{(7 x + 4)}^{2}}$

ステップ 2.4

$x = 4$ で微分係数を求めます。

$\frac{29}{{(7 (4) + 4)}^{2}}$

ステップ 2.5

分母を簡約します。

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ステップ 2.5.1

$7$ に $4$ をかけます。

$\frac{29}{{(28 + 4)}^{2}}$

ステップ 2.5.2

$28$ と $4$ をたし算します。

$\frac{29}{32^{2}}$

ステップ 2.5.3

$32$ を $2$ 乗します。

$\frac{29}{1024}$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $\frac{29}{1024}$ と与えられた点 $(4, \frac{5}{32})$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (\frac{5}{32}) = \frac{29}{1024} \cdot (x - (4))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y - \frac{5}{32} = 0 + 0 + \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} x + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.4

$\frac{29}{1024}$ と $x$ をまとめます。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.5.1

$4$ を $1024$ で因数分解します。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 (256)} \cdot - 4$

ステップ 3.3.1.5.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.3

共通因数を約分します。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

ステップ 3.3.1.5.4

式を書き換えます。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{256} \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.6

$\frac{29}{256}$ と $- 1$ をまとめます。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29 \cdot - 1}{256}$

ステップ 3.3.1.7

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1.7.1

$29$ に $- 1$ をかけます。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29}{256}$

ステップ 3.3.1.7.2

分数の前に負数を移動させます。

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256}$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺に $\frac{5}{32}$ を足します。

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32}$

ステップ 3.3.2.2

$\frac{5}{32}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32} \cdot \frac{8}{8}$

ステップ 3.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $256$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.2.3.1

$\frac{5}{32}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{32 \cdot 8}$

ステップ 3.3.2.3.2

$32$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{256}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 5 \cdot 8}{256}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

$5$ に $8$ をかけます。

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 40}{256}$

ステップ 3.3.2.5.2

$- 29$ と $40$ をたし算します。

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{11}{256}$

ステップ 3.3.3

項を並べ替えます。

$y = \frac{29}{1024} x + \frac{11}{256}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例