微分積分例

$f (x) = \frac{3 x - 4}{4 x - 3}$ , $x = 1$

ステップ 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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ステップ 1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

ステップ 1.2

$y$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

括弧を削除します。

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

ステップ 1.2.2

$\frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$3$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{3 - 4}{4 (1) - 3}$

ステップ 1.2.2.1.2

$3$ から $4$ を引きます。

$y = \frac{- 1}{4 (1) - 3}$

ステップ 1.2.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 1.2.2.2.1

$4$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{- 1}{4 - 3}$

ステップ 1.2.2.2.2

$4$ から $3$ を引きます。

$y = \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.2.2.3

$- 1$ を $1$ で割ります。

$y = - 1$

ステップ 2

一次導関数を求め $x = 1$ と $y = - 1$ における値を求め、接線の傾きを求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = 3 x - 4$ および $g (x) = 4 x - 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $3 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{(4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.5

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(4 x - 3) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.6

式を簡約します。

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ステップ 2.2.6.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(4 x - 3) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.6.2

$3$ を $4 x - 3$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (4 x - 3) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.7

総和則では、 $4 x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.8

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.10

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.11

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.12

式を簡約します。

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ステップ 2.2.12.1

$4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.2.12.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 (4 x - 3) - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1.1

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12 x + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.1.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{12 x - 9 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.1.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{12 x - 9 - 12 x - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.1.4

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{12 x - 9 - 12 x + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2

$12 x - 9 - 12 x + 16$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.3.2.1

$12 x$ から $12 x$ を引きます。

$\frac{0 - 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.2.2

$0$ から $9$ を引きます。

$\frac{- 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.3.3.3

$- 9$ と $16$ をたし算します。

$\frac{7}{{(4 x - 3)}^{2}}$

ステップ 2.4

$x = 1$ で微分係数を求めます。

$\frac{7}{{(4 (1) - 3)}^{2}}$

ステップ 2.5

簡約します。

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ステップ 2.5.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{7}{{(4 - 3)}^{2}}$

ステップ 2.5.1.2

$4$ から $3$ を引きます。

$\frac{7}{1^{2}}$

ステップ 2.5.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{7}{1}$

ステップ 2.5.2

$7$ を $1$ で割ります。

$7$

ステップ 3

傾きと点の値を点と傾きの公式に代入し、 $y$ について解きます。

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ステップ 3.1

傾き $7$ と与えられた点 $(1, - 1)$ を利用して、点傾き型 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ の $x_{1}$ と $y_{1}$ に代入します。それは傾きの方程式 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ から導かれます。

$y - (- 1) = 7 \cdot (x - (1))$

ステップ 3.2

方程式を簡約し点傾き型にします。

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

$7 \cdot (x - 1)$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

書き換えます。

$y + 1 = 0 + 0 + 7 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.2

0を加えて簡約します。

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

ステップ 3.3.1.3

分配則を当てはめます。

$y + 1 = 7 x + 7 \cdot - 1$

ステップ 3.3.1.4

$7$ に $- 1$ をかけます。

$y + 1 = 7 x - 7$

ステップ 3.3.2

$y$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y = 7 x - 7 - 1$

ステップ 3.3.2.2

$- 7$ から $1$ を引きます。

$y = 7 x - 8$

ステップ 4

微分積分 例

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