微分積分例

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

${(i - 1)}^{2}$ を $(i - 1) (i - 1)$ に書き換えます。

$(i - 1) (i - 1)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(i - 1) (i - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$i$ に $i$ をかけます。

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ を $i$ の左に移動させます。

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.3

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.4

$- 1 i$ を $- i$ に書き換えます。

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$i^{2} - i - i + 1$

ステップ 1.3.2

$- i$ から $i$ を引きます。

$i^{2} - 2 i + 1$

ステップ 1.4

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

ステップ 2

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

ステップ 3

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 3.2

値を公式に代入します。

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

$20$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

$2$ を $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

ステップ 3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

ステップ 3.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$2$ に $20$ をかけます。

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

ステップ 3.3.2.2

$20$ と $1$ をたし算します。

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

ステップ 3.3.2.3

$10$ に $21$ をかけます。

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

ステップ 3.3.2.4

$40$ と $1$ をたし算します。

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

ステップ 3.3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$210$ に $41$ をかけます。

$\frac{8610}{3}$

ステップ 3.3.3.2

$8610$ を $3$ で割ります。

$2870$

ステップ 4

$2 \sum_{i = 1}^{20} i$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

次数 $1$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

ステップ 4.2

値を公式に代入して、必ず前の項を掛けます。

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

$20$ と $1$ をたし算します。

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

ステップ 4.3.1.2

$20$ に $21$ をかけます。

$- 2 (\frac{420}{2})$

ステップ 4.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

ステップ 4.3.2.2

共通因数を約分します。

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

ステップ 4.3.2.3

式を書き換えます。

$- 1 \cdot 420$

ステップ 4.3.3

$- 1$ に $420$ をかけます。

$- 420$

ステップ 5

$\sum_{i = 1}^{20} 1$ の値を求めます。

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ステップ 5.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 5.2

値を公式に代入します。

$(1) (20)$

ステップ 5.3

$20$ に $1$ をかけます。

$20$

ステップ 6

合計した結果をたします。

$2870 - 420 + 20$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

$2870$ から $420$ を引きます。

$2450 + 20$

ステップ 7.2

$2450$ と $20$ をたし算します。

$2470$

微分積分 例

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