微分積分例

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1$

ステップ 1

総和を分割し、 $k$ の始めの値が $1$ に等しくなるようにします。

$\sum_{k = 3}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 - \sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$

ステップ 2

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

総和の法則に合う小さい総和に総和を分割します。

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2} + 1 = \sum_{k = 1}^{9} k^{2} + \sum_{k = 1}^{9} 1$

ステップ 2.2

$\sum_{k = 1}^{9} k^{2}$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.1

次数 $2$ をもつ多項式の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

ステップ 2.2.2

値を公式に代入します。

$\frac{9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{6}$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$9$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.1

$3$ を $9 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{6}$

ステップ 2.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.1.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 (2)}$

ステップ 2.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 (3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1))}{3 \cdot 2}$

ステップ 2.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 (9 + 1) (2 \cdot 9 + 1)}{2}$

ステップ 2.2.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ に $9$ をかけます。

$\frac{3 (9 + 1) (18 + 1)}{2}$

ステップ 2.2.3.2.2

$9$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \cdot 10 (18 + 1)}{2}$

ステップ 2.2.3.2.3

$3$ に $10$ をかけます。

$\frac{30 (18 + 1)}{2}$

ステップ 2.2.3.2.4

$18$ と $1$ をたし算します。

$\frac{30 \cdot 19}{2}$

ステップ 2.2.3.3

式を簡約します。

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ステップ 2.2.3.3.1

$30$ に $19$ をかけます。

$\frac{570}{2}$

ステップ 2.2.3.3.2

$570$ を $2$ で割ります。

$285$

ステップ 2.3

$\sum_{k = 1}^{9} 1$ の値を求めます。

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ステップ 2.3.1

定数の総和の公式は：

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

ステップ 2.3.2

値を公式に代入します。

$(1) (9)$

ステップ 2.3.3

$9$ に $1$ をかけます。

$9$

ステップ 2.4

合計した結果をたします。

$285 + 9$

ステップ 2.5

$285$ と $9$ をたし算します。

$294$

ステップ 3

$\sum_{k = 1}^{2} k^{2} + 1$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$k$ の各値の級数を展開します。

$1^{2} + 1 + 2^{2} + 1$

ステップ 3.2

簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ を $2$ 乗します。

$1 + 1 + 2^{2} + 1$

ステップ 3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 + 2^{2} + 1$

ステップ 3.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$2 + 4 + 1$

ステップ 3.2.4

$4$ と $1$ をたし算します。

$2 + 5$

ステップ 3.2.5

$2$ と $5$ をたし算します。

$7$

ステップ 4

総和を求めた値で置換します。

$294 - 7$

ステップ 5

$294$ から $7$ を引きます。

$287$

微分積分 例

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