微分積分例

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ , $x = 5$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$15$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $15 x^{2}$ の微分係数は $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.3.3

$2$ に $15$ をかけます。

$12 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4

$\frac{d}{d x} [10 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x^{2} + 30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{2} + 30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.4.3

$10$ に $1$ をかけます。

$12 x^{2} + 30 x + 10 + \frac{d}{d x} [2]$

ステップ 1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.5.1

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$12 x^{2} + 30 x + 10 + 0$

ステップ 1.5.2

$12 x^{2} + 30 x + 10$ と $0$ をたし算します。

$12 x^{2} + 30 x + 10$

ステップ 2

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f'' (5) = 12 {(5)}^{2} + 30 (5) + 10$

ステップ 3

各項を簡約します。

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ステップ 3.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f'' (5) = 12 \cdot 25 + 30 (5) + 10$

ステップ 3.2

$12$ に $25$ をかけます。

$f'' (5) = 300 + 30 (5) + 10$

ステップ 3.3

$30$ に $5$ をかけます。

$f'' (5) = 300 + 150 + 10$

ステップ 4

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.1

$300$ と $150$ をたし算します。

$f'' (5) = 450 + 10$

ステップ 4.2

$450$ と $10$ をたし算します。

$f'' (5) = 460$

微分積分 例

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