微分積分例

$f (x) = 5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ , $x = 2$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $5 - \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ です。

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

ステップ 1.1.2

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$ です。

$0 - \frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{3})]$

ステップ 1.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ とします。

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

ステップ 1.2.2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$0 - (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

ステップ 1.2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ で置き換えます。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}])$

ステップ 1.2.3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x^{2} - 3 x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{2} - 3 x + 3$ とします。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

ステップ 1.2.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

ステップ 1.2.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{2} - 3 x + 3$ で置き換えます。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 3]))$

ステップ 1.2.4

総和則では、 $x^{2} - 3 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

ステップ 1.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [3])))$

ステップ 1.2.6

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])))$

ステップ 1.2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])))$

ステップ 1.2.8

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 \cdot 1 + 0)))$

ステップ 1.2.9

$- 3$ に $1$ をかけます。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3 + 0)))$

ステップ 1.2.10

$2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$0 - (\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

ステップ 1.2.11

$3$ と $\frac{1}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ をまとめます。

$0 - (\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} ({(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (2 x - 3)))$

ステップ 1.2.12

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ と $\frac{3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}}$ をまとめます。

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

ステップ 1.2.13

$3$ を ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ の左に移動させます。

$0 - (\frac{3 \cdot {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

ステップ 1.2.14

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ と ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.14.1

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ を $3 {(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ で因数分解します。

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}} (2 x - 3))$

ステップ 1.2.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.14.2.1

${(x^{2} - 3 x + 3)}^{2}$ を ${(x^{2} - 3 x + 3)}^{3}$ で因数分解します。

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

ステップ 1.2.14.2.2

共通因数を約分します。

$0 - (\frac{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 3 x + 3)}^{2} (x^{2} - 3 x + 3)} (2 x - 3))$

ステップ 1.2.14.2.3

式を書き換えます。

$0 - (\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3))$

$0 - \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

$0$ から $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ を引きます。

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$

ステップ 1.3.2

$- \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3} (2 x - 3)$ の因数を並べ替えます。

$- (2 x - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$(- (2 x) - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$(- 2 x - - 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.5

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$(- 2 x + 3) \frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.6

$- 2 x + 3$ に $\frac{3}{x^{2} - 3 x + 3}$ をかけます。

$\frac{(- 2 x + 3) \cdot 3}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.7

$3$ を $- 2 x + 3$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot (- 2 x + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.8

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (2 x) + 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.9

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- (2 x) - 1 (- 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.10

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{3 (- (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.11

$- (2 x - 3)$ を $- 1 (2 x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{3 (- 1 (2 x - 3))}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 1.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (2 x - 3)}{x^{2} - 3 x + 3}$

ステップ 2

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = - \frac{3 (2 (2) - 3)}{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

ステップ 3

分子を簡約します。

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ステップ 3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = - \frac{3 (4 - 3)}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

ステップ 3.2

$4$ から $3$ を引きます。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{2^{2} - 3 \cdot 2 + 3}$

ステップ 4

分母を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 3 \cdot 2 + 3}$

ステップ 4.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{4 - 6 + 3}$

ステップ 4.3

$4$ から $6$ を引きます。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{- 2 + 3}$

ステップ 4.4

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f' (2) = - \frac{3 \cdot 1}{1}$

ステップ 5

式を簡約します。

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ステップ 5.1

$3$ に $1$ をかけます。

$f' (2) = - \frac{3}{1}$

ステップ 5.2

$3$ を $1$ で割ります。

$f' (2) = - 1 \cdot 3$

ステップ 5.3

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (2) = - 3$

微分積分 例

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