微分積分例

$\frac{x}{x^{2} + 16}$

ステップ 1

$\frac{x}{x^{2} + 16}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$x^{2} + 16$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = - x^{2} + 16$ および $g (x) = {(x^{2} + 16)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.2

総和則では、 $- x^{2} + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.6

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.7

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 16$ とします。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 16$ で置き換えます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $x^{2} + 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ です。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.4

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.2

$2$ を $x^{2} + 16$ の左に移動させます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) (2 \cdot (x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.2

${(x^{2} + 16)}^{2}$ を $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ に書き換えます。

$\frac{- 2 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.2

$16$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.3

$16$ に $16$ をかけます。

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.2

$16 x^{2}$ と $16 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{- 2 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (32 x^{2}) - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.6.1

$32$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6.2

$- 2$ に $256$ をかけます。

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 512) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{4} x - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x^{1} x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{1 + 2} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.9.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x^{1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{2} x - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ を移動させます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{1 + 2} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.4

$4$ に $16$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5

$16$ に $- 64$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.2

$64 x^{3}$ から $64 x^{3}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 0 - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.2

$- 2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.3

$- 512 x$ から $1024 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1

$2 x$ を $2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1.1

$2 x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4}) - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.2

$2 x$ を $- 64 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.3

$2 x$ を $- 1536 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.4

$2 x$ を $2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.5

$2 x$ を $2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$\frac{2 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 32 u - 768$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 768$ で、その和が $- 32$ です。

$- 48, 16$

ステップ 2.2.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{2 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5

$x^{2} + 16$ と ${(x^{2} + 16)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.1

$x^{2} + 16$ を $2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.2.1

$x^{2} + 16$ を ${(x^{2} + 16)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} - 48) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 48 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.3.3

$x^{2} - 48$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{2} - 48$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 48 = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 48 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺に $48$ を足します。

$x^{2} = 48$

ステップ 3.3.3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{48}$

ステップ 3.3.3.2.3

$\pm \sqrt{48}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{16 (3)}$

ステップ 3.3.3.2.3.1.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 4 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 4 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 4 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.4

最終解は $2 x (x^{2} - 48) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 16}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 + 16}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ と $16$ をたし算します。

$f (0) = \frac{0}{16}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ を $16$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$4 \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $4 \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{{(4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $4 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

ステップ 4.3.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

ステップ 4.3.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

ステップ 4.3.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

ステップ 4.3.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

ステップ 4.3.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

ステップ 4.3.2.1.4

$16$ に $3$ をかけます。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

ステップ 4.3.2.1.5

$48$ と $16$ をたし算します。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{64}$

ステップ 4.3.2.2

$4$ と $64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$4$ を $4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 (\sqrt{3})}{64}$

ステップ 4.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

ステップ 4.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

ステップ 4.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{16}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3}}{16}$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{16}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ で代入して $4 \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

ステップ 4.5

$- 4 \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

式の変数 $x$ を $- 4 \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

ステップ 4.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

積の法則を $- 4 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

ステップ 4.5.2.1.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

ステップ 4.5.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

ステップ 4.5.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

ステップ 4.5.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

ステップ 4.5.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

ステップ 4.5.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

ステップ 4.5.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

ステップ 4.5.2.1.4

$16$ に $3$ をかけます。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

ステップ 4.5.2.1.5

$48$ と $16$ をたし算します。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{64}$

ステップ 4.5.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1

$- 4$ と $64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1.1

$4$ を $- 4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{64}$

ステップ 4.5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1.2.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (16)}$

ステップ 4.5.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 16}$

ステップ 4.5.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{16}$

ステップ 4.5.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 4 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{16}$

ステップ 4.5.2.3

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{3}}{16}$ です。

$- \frac{\sqrt{3}}{16}$

ステップ 4.6

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ で代入して $- 4 \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

ステップ 4.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16}), (- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 4 \sqrt{3}) \cup (- 4 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 4 \sqrt{3}) \cup (4 \sqrt{3}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 7.02820323$ で置換えます。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{2 (- 7.02820323) ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2$ に $- 7.02820323$ をかけます。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 14.05640646 ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 14.05640646$ に ${(- 7.02820323)}^{2} - 48$ をかけます。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 7.02820323$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$49.39564064$ と $16$ をたし算します。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$65.39564064$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{279670.33076553}$

ステップ 6.2.3

$- 19.61769219$ を $279670.33076553$ で割ります。

$f'' (- 7.02820323) = - 0.00007014$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 0.00007014$ です。

$- 0.00007014$

ステップ 6.3

$- 7.02820323$ で二次導関数は $- 7.01457753 E - 5$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 3.46410161$ で置換えます。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{2 (- 3.46410161) ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ に $- 3.46410161$ をかけます。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{- 6.92820323 ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 6.92820323$ に ${(- 3.46410161)}^{2} - 48$ をかけます。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 3.46410161$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$12$ と $16$ をたし算します。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{28^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$28$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{21952}$

ステップ 7.2.3

$249.41531628$ を $21952$ で割ります。

$f'' (- 3.46410161) = 0.01136184$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $0.01136184$ です。

$0.01136184$

ステップ 7.3

$- 3.46410161$ で二次導関数は $0.01136184$ です。これは正の値なので、 $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, 4 \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3.46410161$ で置換えます。

$f'' (3.46410161) = \frac{2 (3.46410161) ({(3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2$ に $3.46410161$ をかけます。

$f'' (3.46410161) = \frac{6.92820323 ({3.46410161}^{2} - 48)}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$6.92820323$ に ${3.46410161}^{2} - 48$ をかけます。

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$3.46410161$ を $2$ 乗します。

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$12$ と $16$ をたし算します。

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{28^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$28$ を $3$ 乗します。

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{21952}$

ステップ 8.2.3

$- 249.41531628$ を $21952$ で割ります。

$f'' (3.46410161) = - 0.01136184$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.01136184$ です。

$- 0.01136184$

ステップ 8.3

$3.46410161$ で二次導関数は $- 0.01136184$ です。これは負の値なので、 $(0, 4 \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, 4 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 9

区間 $(4 \sqrt{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $7.02820323$ で置換えます。

$f'' (7.02820323) = \frac{2 (7.02820323) ({(7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$2$ に $7.02820323$ をかけます。

$f'' (7.02820323) = \frac{14.05640646 ({7.02820323}^{2} - 48)}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.2

$14.05640646$ に ${7.02820323}^{2} - 48$ をかけます。

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$7.02820323$ を $2$ 乗します。

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.2

$49.39564064$ と $16$ をたし算します。

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

ステップ 9.2.2.3

$65.39564064$ を $3$ 乗します。

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{279670.33076553}$

ステップ 9.2.3

$19.61769219$ を $279670.33076553$ で割ります。

$f'' (7.02820323) = 0.00007014$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $0.00007014$ です。

$0.00007014$

ステップ 9.3

$7.02820323$ で二次導関数は $7.01457753 E - 5$ です。これは正の値なので、 $(4 \sqrt{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(4 \sqrt{3}, \infty)$ で増加

ステップ 10

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ です。

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例