微分積分例

$f (x) = - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

ステップ 1

式 $- {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to \infty} - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to \infty} {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

ステップ 3.2

対数の性質を利用して極限を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ を $e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$ に書き換えます。

$- lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$

ステップ 3.2.2

$e^{- x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})$ を展開します。

$- lim_{x \to \infty} e^{e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

ステップ 3.3

指数に極限を移動させます。

$- e^{lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

ステップ 3.4

$e^{- x} \ln (x - 0.086)$ を $\frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}$ に書き換えます。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}}$

ステップ 3.5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$- e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 0.086)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

ステップ 3.5.1.2

対数が無限大に近づくとき、値は $\infty$ になります。

$- e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

ステップ 3.5.1.3

指数 $x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{x}$ が $\infty$ に近づきます。

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.5.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

ステップ 3.5.2

$\frac{\infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

ステップ 3.5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.5.3.1

分母と分子を微分します。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

ステップ 3.5.3.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x - 0.086$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.5.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 0.086$ とします。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

ステップ 3.5.3.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

ステップ 3.5.3.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 0.086$ で置き換えます。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

ステップ 3.5.3.3

総和則では、 $x - 0.086$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086]$ です。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

ステップ 3.5.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

ステップ 3.5.3.5

$- 0.086$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 0.086$ の微分係数は $0$ です。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

ステップ 3.5.3.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

ステップ 3.5.3.7

$\frac{1}{x - 0.086}$ に $1$ をかけます。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

ステップ 3.5.3.8

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{e^{x}}}$

ステップ 3.5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 0.086} \cdot \frac{1}{e^{x}}}$

ステップ 3.5.5

$\frac{1}{x - 0.086}$ に $\frac{1}{e^{x}}$ をかけます。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}}$

ステップ 3.5.6

$\frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}$ の因数を並べ替えます。

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}}$

ステップ 3.6

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}$ は $0$ に近づきます。

$- e^{0}$

ステップ 3.7

答えを簡約します。

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ステップ 3.7.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$- 1 \cdot 1$

ステップ 3.7.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 1$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = - 1$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = - 1$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例