微分積分例

$\sum_{i = 1}^{5} {(2 i - 1)}^{2}$

ステップ 1

総和を簡約します。

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ステップ 1.1

${(2 i - 1)}^{2}$ を $(2 i - 1) (2 i - 1)$ に書き換えます。

$(2 i - 1) (2 i - 1)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 i - 1) (2 i - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 i (2 i - 1) - 1 (2 i - 1)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i - 1)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 2 i \cdot i + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.2

指数を足して $i$ に $i$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.2.1

$i$ を移動させます。

$2 \cdot 2 (i \cdot i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.2.2

$i$ に $i$ をかけます。

$2 \cdot 2 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 i^{2} - 2 i - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 i^{2} - 2 i - 2 i - 1 \cdot - 1$

ステップ 1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$4 i^{2} - 2 i - 2 i + 1$

ステップ 1.3.2

$- 2 i$ から $2 i$ を引きます。

$4 i^{2} - 4 i + 1$

ステップ 1.4

総和を書き換えます。

$\sum_{i = 1}^{5} 4 i^{2} - 4 i + 1$

ステップ 2

$i$ の各値の級数を展開します。

$4 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 1 + 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 1 + 4 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 1 + \dots + 4 \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 1$

ステップ 3

展開形を簡約します。

$165$

微分積分 例

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