微分積分例

$y = \frac{1 + x}{1 - x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$f (x) = 1 + x$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $1 + x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [x]$ をたし算します。

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$1 - x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1 - x - (1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 - x - (1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.8

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1 - x - (1 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.9

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1 - x - (1 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.10

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - x + 1 (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.10.2

$1 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x + (1 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - x + (1 + x) \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.12

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.1

$1 + x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x + 1 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.12.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- x + 2 + x}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.12.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{0 + 2}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.12.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.12.4.1

$0$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.2.12.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{{(- x + 1)}^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}]$

ステップ 2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ を ${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$2 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2

${({(- x + 1)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 2}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = - x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x + 1$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 2.2.3

$u$ のすべての発生を $- x + 1$ で置き換えます。

$2 (- 2 {(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$- 4 ({(- x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 2.3.2

総和則では、 $- x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} (- 1 + 0)$

ステップ 2.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.7.1

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$- 4 {(- x + 1)}^{- 3} \cdot - 1$

ステップ 2.3.7.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$4 {(- x + 1)}^{- 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 \frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$

ステップ 2.4.2

$4$ と $\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$

ステップ 3

三次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{{(- x + 1)}^{3}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}]$

ステップ 3.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{3}}$ を ${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}]$

ステップ 3.1.2.2

${({(- x + 1)}^{3})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{3 \cdot - 1}]$

ステップ 3.1.2.2.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 3}]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{- 3}$ および $g (x) = - x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x + 1$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 3.2.2

$n = - 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 3.2.3

$u$ のすべての発生を $- x + 1$ で置き換えます。

$4 (- 3 {(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 3.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 3$ に $4$ をかけます。

$- 12 ({(- x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 3.3.2

総和則では、 $- x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 3.3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} (- 1 + 0)$

ステップ 3.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.7.1

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$- 12 {(- x + 1)}^{- 4} \cdot - 1$

ステップ 3.3.7.2

$- 1$ に $- 12$ をかけます。

$12 {(- x + 1)}^{- 4}$

ステップ 3.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$12 \frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$

ステップ 3.4.2

$12$ と $\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ をまとめます。

$f''' (x) = \frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$

ステップ 4

四次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{12}{{(- x + 1)}^{4}}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}]$

ステップ 4.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{4}}$ を ${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$12 \frac{d}{d x} [{({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}]$

ステップ 4.1.2.2

${({(- x + 1)}^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{4 \cdot - 1}]$

ステップ 4.1.2.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$12 \frac{d}{d x} [{(- x + 1)}^{- 4}]$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{- 4}$ および $g (x) = - x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x + 1$ とします。

$12 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 4.2.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 4.2.3

$u$ のすべての発生を $- x + 1$ で置き換えます。

$12 (- 4 {(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 4.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- 4$ に $12$ をかけます。

$- 48 ({(- x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- x + 1])$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $- x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.3.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.3.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 4.3.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} (- 1 + 0)$

ステップ 4.3.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.7.1

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$- 48 {(- x + 1)}^{- 5} \cdot - 1$

ステップ 4.3.7.2

$- 1$ に $- 48$ をかけます。

$48 {(- x + 1)}^{- 5}$

ステップ 4.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$48 \frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$

ステップ 4.4.2

$48$ と $\frac{1}{{(- x + 1)}^{5}}$ をまとめます。

$f^{4} (x) = \frac{48}{{(- x + 1)}^{5}}$

微分積分 例

微分積分例