微分積分例

$y = x e^{2 x}$

ステップ 1

式 $x e^{2 x}$ が未定義である場所を求めます。

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 2

垂直漸近線は無限が不連続になる場所で発生します。

垂直漸近線がありません

ステップ 3

$lim_{x \to - \infty} x e^{2 x}$ の値を求め水平漸近線を求めます。

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ステップ 3.1

$x e^{2 x}$ を $\frac{x}{e^{- 2 x}}$ に書き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}}$

ステップ 3.2

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 3.2.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 3.2.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

ステップ 3.2.1.2

首位係数が正である奇数次数の多項式の負の無限大における極限は負の無限大です。

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- 2 x}}$

ステップ 3.2.1.3

指数 $- 2 x$ が $\infty$ に近づくので、数 $e^{- 2 x}$ が $\infty$ に近づきます。

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 3.2.1.4

無限大割る無限大は未定義です。

未定義

$\frac{- \infty}{\infty}$

ステップ 3.2.2

$\frac{- \infty}{\infty}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- 2 x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

ステップ 3.2.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

ステップ 3.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]}$

ステップ 3.2.3.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 2 x$ とします。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

ステップ 3.2.3.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

ステップ 3.2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $- 2 x$ で置き換えます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

ステップ 3.2.3.4

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])}$

ステップ 3.2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)}$

ステップ 3.2.3.6

$- 2$ に $1$ をかけます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x} \cdot - 2}$

ステップ 3.2.3.7

$- 2$ を $e^{- 2 x}$ の左に移動させます。

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 2 e^{- 2 x}}$

ステップ 3.2.4

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{2 e^{- 2 x}}$

ステップ 3.3

極限を求めます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{2 e^{- 2 x}}$

ステップ 3.3.2

$\frac{1}{2}$ の項は $x$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- 2 x}}$

ステップ 3.4

分子が実数に近づき、分母が有界でないので、分数 $\frac{1}{e^{- 2 x}}$ は $0$ に近づきます。

$- \frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 3.5

$- \frac{1}{2} \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1

$0$ に $- 1$ をかけます。

$0 (\frac{1}{2})$

ステップ 3.5.2

$0$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$0$

ステップ 4

水平漸近線のリスト：

$y = 0$

ステップ 5

分子の次数が分母の次数以下なので、斜めの漸近線はありません。

斜めの漸近線がありません

ステップ 6

すべての漸近線の集合です。

垂直漸近線がありません

水平漸近線： $y = 0$

斜めの漸近線がありません

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例