微分積分例

$y = 4 x^{2} + 3 x - 5$

ステップ 1

与えられた放物線の特性を求めます。

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ステップ 1.1

方程式を頂点形で書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$4 x^{2} + 3 x - 5$ の平方完成。

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ステップ 1.1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = 3$

$c = - 5$

ステップ 1.1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{3}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.1.1.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$d = \frac{3}{8}$

ステップ 1.1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = - 5 - \frac{3^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.1.1.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$e = - 5 - \frac{9}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.1.1.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = - 5 - \frac{9}{16}$

ステップ 1.1.1.4.2.2

$- 5$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{16}{16}$ を掛けます。

$e = - 5 \cdot \frac{16}{16} - \frac{9}{16}$

ステップ 1.1.1.4.2.3

$- 5$ と $\frac{16}{16}$ をまとめます。

$e = \frac{- 5 \cdot 16}{16} - \frac{9}{16}$

ステップ 1.1.1.4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$e = \frac{- 5 \cdot 16 - 9}{16}$

ステップ 1.1.1.4.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.4.2.5.1

$- 5$ に $16$ をかけます。

$e = \frac{- 80 - 9}{16}$

ステップ 1.1.1.4.2.5.2

$- 80$ から $9$ を引きます。

$e = \frac{- 89}{16}$

ステップ 1.1.1.4.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$e = - \frac{89}{16}$

ステップ 1.1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{89}{16}$ に代入します。

$4 {(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{89}{16}$

ステップ 1.1.2

$y$ は新しい右辺と等しいとします。

$y = 4 {(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{89}{16}$

ステップ 1.2

頂点形、 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 、を利用して $a$ 、 $h$ 、 $k$ の値を求めます。

$a = 4$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - \frac{89}{16}$

ステップ 1.3

$a$ の値が正なので、放物線は上に開です。

上に開く

ステップ 1.4

頂点 $(h, k)$ を求めます。

$(- \frac{3}{8}, - \frac{89}{16})$

ステップ 1.5

頂点から焦点までの距離 $p$ を求めます。

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ステップ 1.5.1

次の式を利用して放物線の交点から焦点までの距離を求めます。

$\frac{1}{4 a}$

ステップ 1.5.2

$a$ の値を公式に代入します。

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.5.3

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{16}$

ステップ 1.6

焦点を求めます。

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ステップ 1.6.1

放物線の焦点は、放物線が上下に開の場合、 $p$ をy座標 $k$ に加えて求められます。

$(h, k + p)$

ステップ 1.6.2

$h$ と $p$ 、および $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$(- \frac{3}{8}, - \frac{11}{2})$

ステップ 1.7

交点と焦点を通る線を求め、対称軸を求めます。

$x = - \frac{3}{8}$

ステップ 1.8

準線を求めます。

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ステップ 1.8.1

放物線の準線は、放物線が上下に開の場合、頂点のy座標 $k$ から $p$ を引いて求められる水平線です。

$y = k - p$

ステップ 1.8.2

$p$ と $k$ の既知数を公式に代入し、簡約します。

$y = - \frac{45}{8}$

ステップ 1.9

放物線の性質を利用して放物線を分析しグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{3}{8}, - \frac{89}{16})$

焦点： $(- \frac{3}{8}, - \frac{11}{2})$

対称軸： $x = - \frac{3}{8}$

準線： $y = - \frac{45}{8}$

方向：上に開

頂点： $(- \frac{3}{8}, - \frac{89}{16})$

焦点： $(- \frac{3}{8}, - \frac{11}{2})$

対称軸： $x = - \frac{3}{8}$

準線： $y = - \frac{45}{8}$

ステップ 2

$x$ 値をいくつか選択し、方程式に代入し対応する $y$ 値を求めます。 $x$ 値は頂点の周りで選択しなければなりません。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} + 3 (- 1) - 5$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = 4 \cdot 1 + 3 (- 1) - 5$

ステップ 2.2.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f (- 1) = 4 + 3 (- 1) - 5$

ステップ 2.2.1.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f (- 1) = 4 - 3 - 5$

ステップ 2.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ から $3$ を引きます。

$f (- 1) = 1 - 5$

ステップ 2.2.2.2

$1$ から $5$ を引きます。

$f (- 1) = - 4$

ステップ 2.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 2.3

$x = - 1$ における $y$ 値は $- 4$ です。

$y = - 4$

ステップ 2.4

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 5$

ステップ 2.5

結果を簡約します。

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ステップ 2.5.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2) = 4 \cdot 4 + 3 (- 2) - 5$

ステップ 2.5.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f (- 2) = 16 + 3 (- 2) - 5$

ステップ 2.5.1.3

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2) = 16 - 6 - 5$

ステップ 2.5.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$16$ から $6$ を引きます。

$f (- 2) = 10 - 5$

ステップ 2.5.2.2

$10$ から $5$ を引きます。

$f (- 2) = 5$

ステップ 2.5.3

最終的な答えは $5$ です。

$5$

ステップ 2.6

$x = - 2$ における $y$ 値は $5$ です。

$y = 5$

ステップ 2.7

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 4 {(1)}^{2} + 3 (1) - 5$

ステップ 2.8

結果を簡約します。

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ステップ 2.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.8.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 4 \cdot 1 + 3 (1) - 5$

ステップ 2.8.1.2

$4$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 4 + 3 (1) - 5$

ステップ 2.8.1.3

$3$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 4 + 3 - 5$

ステップ 2.8.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.8.2.1

$4$ と $3$ をたし算します。

$f (1) = 7 - 5$

ステップ 2.8.2.2

$7$ から $5$ を引きます。

$f (1) = 2$

ステップ 2.8.3

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 2.9

$x = 1$ における $y$ 値は $2$ です。

$y = 2$

ステップ 2.10

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 4 {(2)}^{2} + 3 (2) - 5$

ステップ 2.11

結果を簡約します。

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ステップ 2.11.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.11.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 4 \cdot 4 + 3 (2) - 5$

ステップ 2.11.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 16 + 3 (2) - 5$

ステップ 2.11.1.3

$3$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 16 + 6 - 5$

ステップ 2.11.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.11.2.1

$16$ と $6$ をたし算します。

$f (2) = 22 - 5$

ステップ 2.11.2.2

$22$ から $5$ を引きます。

$f (2) = 17$

ステップ 2.11.3

最終的な答えは $17$ です。

$17$

ステップ 2.12

$x = 2$ における $y$ 値は $17$ です。

$y = 17$

ステップ 2.13

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 5 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{3}{8} & - \frac{89}{16} \\ 1 & 2 \\ 2 & 17 \end{array}$

ステップ 3

放物線の特性と選択した点を利用し、放物線をグラフに描きます。

方向：上に開

頂点： $(- \frac{3}{8}, - \frac{89}{16})$

焦点： $(- \frac{3}{8}, - \frac{11}{2})$

対称軸： $x = - \frac{3}{8}$

準線： $y = - \frac{45}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 5 \\ - 1 & - 4 \\ - \frac{3}{8} & - \frac{89}{16} \\ 1 & 2 \\ 2 & 17 \end{array}$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例