微分積分例

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$

ステップ 1

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$ の定義域を求めると、 $x$ 値のリストが選択され、点のリストを求めることができます。このことで、累乗根をグラフにできます。

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ステップ 1.1

$\sqrt{8 - x^{2}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$8 - x^{2} \geq 0$

ステップ 1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 1.2.1

不等式の両辺から $8$ を引きます。

$- x^{2} \geq - 8$

ステップ 1.2.2

$- x^{2} \geq - 8$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$- x^{2} \geq - 8$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 1.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 1.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

ステップ 1.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.3.1

$- 8$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} \leq 8$

ステップ 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

ステップ 1.2.4

方程式を簡約します。

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ステップ 1.2.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1.1

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq \sqrt{8}$

ステップ 1.2.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1

$\sqrt{8}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.1.1

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.4.2.1.1.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

ステップ 1.2.4.2.1.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

ステップ 1.2.4.2.1.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$ を区分で書きます。

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ステップ 1.2.5.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$x \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.3

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$x < 0$

ステップ 1.2.5.4

$x$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 1.2.5.5

区分で書きます。

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

ステップ 1.2.6

$x \leq 2 \sqrt{2}$ と $x \geq 0$ の交点を求めます。

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 1.2.7

$x < 0$ のとき、 $- x \leq 2 \sqrt{2}$ を解きます。

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ステップ 1.2.7.1

$- x \leq 2 \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.1

$- x \leq 2 \sqrt{2}$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 1.2.7.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 1.2.7.1.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

ステップ 1.2.7.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.7.1.3.1

$\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

ステップ 1.2.7.1.3.2

$- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ を $- (2 \sqrt{2})$ に書き換えます。

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

ステップ 1.2.7.1.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

ステップ 1.2.7.2

$x \geq - 2 \sqrt{2}$ と $x < 0$ の交点を求めます。

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

ステップ 1.2.8

解の和集合を求めます。

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

ステップ 1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

区間記号：

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

集合の内包的記法：

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

ステップ 2

端点を求めるために、 $x$ 値の界を定義域から $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ に代入します。

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ステップ 2.1

式の変数 $x$ を $- 2 \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = (- 2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 2.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.2.1

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

積の法則を $- 2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 2.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 2.2.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 2.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 2.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 2.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 2.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

ステップ 2.2.2.5

指数を求めます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

ステップ 2.2.3

$- (4 \cdot 2)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

ステップ 2.2.3.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

ステップ 2.2.4

$8$ から $8$ を引きます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

ステップ 2.2.5

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \cdot 0$

ステップ 2.2.7

$- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.7.1

$0$ に $- 2$ をかけます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

ステップ 2.2.7.2

$0$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0$

ステップ 2.2.8

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 2.3

式の変数 $x$ を $2 \sqrt{2}$ で置換えます。

$f (2 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

ステップ 2.4

結果を簡約します。

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ステップ 2.4.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

積の法則を $2 \sqrt{2}$ に当てはめます。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 2.4.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

ステップ 2.4.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

ステップ 2.4.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

ステップ 2.4.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 2.4.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1

共通因数を約分します。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

ステップ 2.4.2.4.2

式を書き換えます。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

ステップ 2.4.2.5

指数を求めます。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

ステップ 2.4.3

$- (4 \cdot 2)$ を掛けます。

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ステップ 2.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

ステップ 2.4.3.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

ステップ 2.4.4

$8$ から $8$ を引きます。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

ステップ 2.4.5

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \cdot 0$

ステップ 2.4.7

$2 \sqrt{2} \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.7.1

$0$ に $2$ をかけます。

$f (2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

ステップ 2.4.7.2

$0$ に $\sqrt{2}$ をかけます。

$f (2 \sqrt{2}) = 0$

ステップ 2.4.8

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3

端点は $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ です。

$(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$

ステップ 4

定義域からいくつかの $x$ 値を選択します。無理式の端点の $x$ 値の隣にくるように値を選択するとより便利です。

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ステップ 4.1

$x$ 値の $- 1.82842712$ を $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ に代入します。この場合、点は $(- 1.82842712, - 3.94569924)$ です。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 1.82842712$ で置換えます。

$f (- 1.82842712) = (- 1.82842712) \sqrt{8 - {(- 1.82842712)}^{2}}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 1.82842712$ を $2$ 乗します。

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 3.34314575}$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ に $3.34314575$ をかけます。

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 3.34314575}$

ステップ 4.1.2.1.3

$8$ から $3.34314575$ を引きます。

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{4.65685424}$

ステップ 4.1.2.2

$- 1.82842712$ に $\sqrt{4.65685424}$ をかけます。

$f (- 1.82842712) = - 3.94569924$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $- 3.94569924$ です。

$y = - 3.94569924$

ステップ 4.2

$x$ 値の $- 0.82842712$ を $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ に代入します。この場合、点は $(- 0.82842712, - 2.24038746)$ です。

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ステップ 4.2.1

式の変数 $x$ を $- 0.82842712$ で置換えます。

$f (- 0.82842712) = (- 0.82842712) \sqrt{8 - {(- 0.82842712)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- 0.82842712$ を $2$ 乗します。

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.6862915}$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 1$ に $0.6862915$ をかけます。

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 0.6862915}$

ステップ 4.2.2.1.3

$8$ から $0.6862915$ を引きます。

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{7.31370849}$

ステップ 4.2.2.2

$- 0.82842712$ に $\sqrt{7.31370849}$ をかけます。

$f (- 0.82842712) = - 2.24038746$

ステップ 4.2.2.3

最終的な答えは $- 2.24038746$ です。

$y = - 2.24038746$

ステップ 4.3

$x$ 値の $0.17157287$ を $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ に代入します。この場合、点は $(0.17157287, 0.48438771)$ です。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $0.17157287$ で置換えます。

$f (0.17157287) = (0.17157287) \sqrt{8 - {(0.17157287)}^{2}}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$0.17157287$ を $2$ 乗します。

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.02943725}$

ステップ 4.3.2.1.2

$- 1$ に $0.02943725$ をかけます。

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 0.02943725}$

ステップ 4.3.2.1.3

$8$ から $0.02943725$ を引きます。

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{7.97056274}$

ステップ 4.3.2.2

$0.17157287$ に $\sqrt{7.97056274}$ をかけます。

$f (0.17157287) = 0.48438771$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $0.48438771$ です。

$y = 0.48438771$

ステップ 4.4

$x$ 値の $1.17157287$ を $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ に代入します。この場合、点は $(1.17157287, 3.01607027)$ です。

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ステップ 4.4.1

式の変数 $x$ を $1.17157287$ で置換えます。

$f (1.17157287) = (1.17157287) \sqrt{8 - {(1.17157287)}^{2}}$

ステップ 4.4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

$1.17157287$ を $2$ 乗します。

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 1.372583}$

ステップ 4.4.2.1.2

$- 1$ に $1.372583$ をかけます。

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1.372583}$

ステップ 4.4.2.1.3

$8$ から $1.372583$ を引きます。

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{6.62741699}$

ステップ 4.4.2.2

$1.17157287$ に $\sqrt{6.62741699}$ をかけます。

$f (1.17157287) = 3.01607027$

ステップ 4.4.2.3

最終的な答えは $3.01607027$ です。

$y = 3.01607027$

ステップ 4.5

$x$ 値の $2.17157287$ を $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ に代入します。この場合、点は $(2.17157287, 3.93544563)$ です。

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ステップ 4.5.1

式の変数 $x$ を $2.17157287$ で置換えます。

$f (2.17157287) = (2.17157287) \sqrt{8 - {(2.17157287)}^{2}}$

ステップ 4.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

$2.17157287$ を $2$ 乗します。

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 4.71572875}$

ステップ 4.5.2.1.2

$- 1$ に $4.71572875$ をかけます。

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 4.71572875}$

ステップ 4.5.2.1.3

$8$ から $4.71572875$ を引きます。

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{3.28427124}$

ステップ 4.5.2.2

$2.17157287$ に $\sqrt{3.28427124}$ をかけます。

$f (2.17157287) = 3.93544563$

ステップ 4.5.2.3

最終的な答えは $3.93544563$ です。

$y = 3.93544563$

ステップ 4.6

平方根は、頂点 $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0), (- 1.82842712, - 3.95), (- 0.82842712, - 2.24), (0.17157287, 0.48), (1.17157287, 3.02), (2.17157287, 3.94)$ の周りの点を利用してグラフにすることができます。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 \sqrt{2} & 0 \\ - 1.828 & - 3.95 \\ - 0.828 & - 2.24 \\ 0.172 & 0.48 \\ 1.172 & 3.02 \\ 2.172 & 3.94 \\ 2 \sqrt{2} & 0 \end{array}$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例