微分積分例

$\sqrt[4]{t} - 4 e^{t}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt[4]{t} - 4 e^{t}$ の $t$ に関する積分は $\frac{d}{d t} [\sqrt[4]{t}] + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$ です。

$\frac{d}{d t} [\sqrt[4]{t}] + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d t} [\sqrt[4]{t}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[4]{t}$ を $t^{\frac{1}{4}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

ステップ 2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

ステップ 2.4

$- 1$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

ステップ 2.6.2

$1$ から $4$ を引きます。

$\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

ステップ 2.7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} + \frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d t} [- 4 e^{t}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 4$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $- 4 e^{t}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d t} [e^{t}]$ です。

$\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} - 4 \frac{d}{d t} [e^{t}]$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ は $a^{t} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}} - 4 e^{t}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{3}{4}}} - 4 e^{t}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{4}$ に $\frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}$ をかけます。

$\frac{1}{4 t^{\frac{3}{4}}} - 4 e^{t}$

微分積分 例

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