微分積分例

$f (t) = 10 e^{\frac{1}{2} t}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\frac{1}{2}$ と $t$ をまとめます。

$\frac{d}{d t} [10 e^{\frac{t}{2}}]$

ステップ 1.2

$10$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $10 e^{\frac{t}{2}}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$ です。

$10 \frac{d}{d t} [e^{\frac{t}{2}}]$

ステップ 2

$f (t) = e^{t}$ および $g (t) = \frac{t}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ は $f' (g (t)) g' (t)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{t}{2}$ とします。

$10 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$10 (e^{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\frac{t}{2}$ で置き換えます。

$10 (e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{2}$ は $t$ に対して定数なので、 $t$ に対する $\frac{t}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ です。

$10 e^{\frac{t}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$\frac{1}{2}$ と $10$ をまとめます。

$\frac{10}{2} e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2.2

$\frac{10}{2}$ と $e^{\frac{t}{2}}$ をまとめます。

$\frac{10 e^{\frac{t}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2.3

$10$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

$2$ を $10 e^{\frac{t}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 (1)} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (5 e^{\frac{t}{2}})}{2 \cdot 1} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{5 e^{\frac{t}{2}}}{1} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.2.3.2.4

$5 e^{\frac{t}{2}}$ を $1$ で割ります。

$5 e^{\frac{t}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ は $n t^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 e^{\frac{t}{2}} \cdot 1$

ステップ 3.4

$5$ に $1$ をかけます。

$5 e^{\frac{t}{2}}$

微分積分 例

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